ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Многочлен L
j
(x) y
j
принимает значение y
i
в i-й узловой точке равен нулю во всех других
узлах. Из этого следует, что
∑
+
=
=
1n
1j
ij
y)x(L)x(y (5)
есть многочлен степени
n, проходящий через n+1 точку (x
i
, y
i
).
Возникает вопрос: совпадает ли многочлен Лагранжа с многочленом (1), построенным в
предыдущем, параграфе. Их разность - многочлен степени не выше
п и она обращается в нуль в n+1
узловой точке x=x
i
, следовательно, она тождественно равна нулю. Таким образом, можно сделать
следующее важное замечание: если дана п+1 узловая точка, то соответствующий многочлен
степени
п, проходящий через эти точки, однозначно (в пределах ошибок округления) определен,
независимо от того, как он строится и какие обозначения использованы.
Интерполяционная формула Лагранжа неудобна для практического использования.
Преобразования позволяют привести ее к несколько более удобному для вычисления виду.
Рассмотрим частный случай, когда все
y
i
= 1. Тогда у(х)=1 для всех х, так что тождественно
.)x(L1
1n
1j
j
∑
+
=
=
Мы можем теперь разделить правую часть формулы Лагранжа на это выражение, положив
;
)xx(
1
A
i
ij
/
j
∏
−
=
после деления числителя и знаменателя на
∏
−
i
j
xx )( получим
[
]
[]
∑
∑
+
=
+
=
−
−
=
1n
1j
jj
1n
1j
jjj
)xx/(A
)xx/(yA
)x(y
. (6)
Формула Лагранжа вида (6) часто является более удобной для применения , чем (5).
Рассмотрим теперь задачу нахождения интерполяционного многочлена, который в каждой
точке
x
i
принимает значение y
i
и имеет производные y
i
’ , i=1, ... , п+1. Такой многочлен называется
многочленом Эрмита. Ясно, что он имеет степень 2n+1 (так как должны быть удовлетворены 2n+ 2
условия).
Для решения указанной задачи воспользуемся методом, являющимся естественным
продолжением метода Лагранжа. Будем искать такие многочлены
H
i
(x) и h
i
(x) степени не выше
2п+1, что при i ≠ j
H
j
(x
i
)=0, h
j
(x
i
)=0,
H
j
’(x
i
)=0 , h
j
’(x
i
)=0,
H
j
(x
j
)=1, h
j
(x
j
)=0,
H
j
(x
j
)=0, h
j
’(x
j
)=1.
После того как эти многочлены будут найдены, решение поставленной задачи можно будет
записать в виде
[
]
.y)x(hy)x(H)x(y
1n
1j
'
jjjj
∑
+
=
+=
.
Прежде всего построим h
j
(х) . Если h
j
(х
i
) = 0 и h
j
’(х
i
) = 0, то h
j
(х) должен содержать
множитель
(
x - x
i
)
2
(для i ≠ j).
Если
h
j
(х
j
) = 0, но h
j
’(х
j
)
≠
0, то существует простой множитель (x - x
j
). Чтобы получить h
j
’(х
j
)
= 1
, следует взять
.
)xx...()xx()xx....()xx()xx(
)xx....()xx)(xx()xx....()xx()xx(
)x(h
2
1nj
2
1jj
2
1jj
2
2j
2
1j
2
1n
2
1jj
2
1j
2
2
2
1
j
++−
++−
−−−−−
−−−−−−
=
Многочлен Lj (x) yj принимает значение yi в i-й узловой точке равен нулю во всех других
узлах. Из этого следует, что
n +1
y( x ) = ∑ L j ( x ) yi (5)
j =1
есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (xi, yi).
Возникает вопрос: совпадает ли многочлен Лагранжа с многочленом (1), построенным в
предыдущем, параграфе. Их разность - многочлен степени не выше п и она обращается в нуль в n+1
узловой точке x=xi, следовательно, она тождественно равна нулю. Таким образом, можно сделать
следующее важное замечание: если дана п+1 узловая точка, то соответствующий многочлен
степени п, проходящий через эти точки, однозначно (в пределах ошибок округления) определен,
независимо от того, как он строится и какие обозначения использованы.
Интерполяционная формула Лагранжа неудобна для практического использования.
Преобразования позволяют привести ее к несколько более удобному для вычисления виду.
Рассмотрим частный случай, когда все yi = 1. Тогда у(х)=1 для всех х, так что тождественно
n +1
1 = ∑ L j ( x ).
j =1
Мы можем теперь разделить правую часть формулы Лагранжа на это выражение, положив
1
Aj = ;
∏ j − xi )
/
( x
i
после деления числителя и знаменателя на ∏ ( x − x j ) получим
i
∑ [Aj y j /( x − x j )]
n +1
j =1
y( x ) = . (6)
∑ [Aj /( x − x j )]
n +1
j =1
Формула Лагранжа вида (6) часто является более удобной для применения , чем (5).
Рассмотрим теперь задачу нахождения интерполяционного многочлена, который в каждой
точке xi принимает значение yi и имеет производные yi’ , i=1, ... , п+1. Такой многочлен называется
многочленом Эрмита. Ясно, что он имеет степень 2n+1 (так как должны быть удовлетворены 2n+ 2
условия).
Для решения указанной задачи воспользуемся методом, являющимся естественным
продолжением метода Лагранжа. Будем искать такие многочлены Hi(x) и hi(x) степени не выше
2п+1, что при i ≠ j
Hj(xi)=0, hj(xi)=0,
Hj’(xi)=0 , hj’(xi)=0,
Hj(xj)=1, hj(xj)=0,
Hj(xj)=0, hj’(xj)=1.
После того как эти многочлены будут найдены, решение поставленной задачи можно будет
записать в виде
[ ]
n +1
y( x ) = ∑ H j ( x ) y j + h j ( x ) y'j . .
j =1
Прежде всего построим hj(х) . Если hj(хi) = 0 и hj’(хi) = 0, то hj(х) должен содержать
множитель
(x - xi)2 (для i ≠ j).
Если hj(хj) = 0, но hj’(хj) ≠ 0, то существует простой множитель (x - xj). Чтобы получить hj’(хj)
= 1, следует взять
( x − x 1 ) 2 ( x − x 2 ) 2 ....( x − x j−1 ) 2 ( x − x j )( x − x j+1 ) 2 ....( x − x n + 1 ) 2
h j( x ) = .
( x j − x 1 ) ( x j − x 2 ) ....( x j − x
2 2
j−1 ) ( xj − x
2
j+1 ) ...( x j − x n + 1 ) 2
2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
