ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
)1n(n
1...)2n()1n(n
+
=++−+−+
Но определитель также есть многочлен той же самой степени. Следовательно,
,)xx(CW
n
1ij
ij
∏
=>
−= (3)
где
С – некоторая константа которую еще надо найти. Чтобы определить С, рассмотрим
выражение, которое получается при умножении главной диагонали
.x...xx1
n
1n
2
32 +
⋅⋅
Раскрывая произведение, мы находим точно такой же член, и, следовательно,
С = 1. Таким
образом, определитель Вандермонда не равен нулю, если
x
i
≠
x
j
для i ≠ j
Возвращаясь к нашей главной задаче о нахождении многочлена по
п+1 точке (x
i
, y
i
) , мы
видим, что ее всегда можно решить и найти коэффициенты
a
k
, решив систему (2) каким-либо
известным способом. Подставив эти значения в общий вид многочлена (1), мы можем
представить результат в виде
0
...1
..................
...1
...1
...1
1
2
111
2
2
222
1
2
111
2
=
++++
n
nnnn
n
n
n
xxxy
xxxy
xxxy
xxxy
(4)
Впрочем, этот результат можно проверить, рассуждая следующим образом: во-первых,
выражение (4) должно быть многочленом степени
п по х, так как определитель можно
разложить по элементам верхней строчки, и, во-вторых, он проходит через п+1 точку (x
i
, y
i
) так
как подстановка этих значений в верхнюю строку делает две строки определителя
одинаковыми.
Все изложенное можно подытожить, сказав, что если есть
п+1 узловая точка функции, то
можно найти многочлен степени
п, который совпадает с функцией в узловых точках. И таким
образом, мы можем использовать интерполяционный многочлен вместо функции в дальнейших
аналитических процессах: интегрировании, дифференцировании, отыскании нулей и т. д.
Вместо требования, чтобы многочлен проходил через некоторые данные точки, можно
потребовать, чтобы он в некоторых заданных точках имел данный наклон. Так, уравнение
0
3210'
3210'
1
1
1
2
222
2
111
3
2
2
222
3
1
2
111
32
=
xxy
xxy
xxxy
xxxy
xxxy
определяет многочлен третьей степени по
х, проходящий через (x
1
, y
1
) с наклоном y
1
’ и через (x
2
,
y
2
) с наклоном у
2
’ (так как для дифференцирования этого определителя по х достаточно
продифференцировать почленно его верхнюю строку).
Если в точке дано значение
y’ то вовсе не обязательно в ней должно быть указано
значение
у, то же относится и к более высоким производным. Ограничением на выбор условий
является требование, чтобы минор члена у обязательно не был равен нулю. В противном случае
многочлена может не существовать. Это означает, что должно быть дано по крайней мере одно
значение функции
y
i
, по крайней мере два условия на y
i
и у
i
’, три на y
i
, y
i
’, y
i
” и т. д. вплоть до
производной самого высокого порядка.
Только что сформулированное условие не является достаточным. Рассмотрим, например,
три равноотстоящие точки, которые мы обозначим -1, 0, 1. В каждой точке нам даны функция
у
i
и вторая производная.
Минор при
у равен
n( n + 1 )
n + ( n − 1 ) + ( n − 2 ) + ... + 1 =
2
Но определитель также есть многочлен той же самой степени. Следовательно,
n
W = C ∏ ( x j − xi ), (3)
j > i =1
где С – некоторая константа которую еще надо найти. Чтобы определить С, рассмотрим
выражение, которое получается при умножении главной диагонали
1 ⋅ x 2 ⋅ x 32 ...x nn+1 .
Раскрывая произведение, мы находим точно такой же член, и, следовательно, С = 1. Таким
образом, определитель Вандермонда не равен нулю, если xi ≠ xj для i ≠ j
Возвращаясь к нашей главной задаче о нахождении многочлена по п+1 точке (xi , yi) , мы
видим, что ее всегда можно решить и найти коэффициенты ak , решив систему (2) каким-либо
известным способом. Подставив эти значения в общий вид многочлена (1), мы можем
представить результат в виде
y 1 x x2 ... xn
2
y1 1 x1 x1 ... x1n
y2 1 x2 x2
2 ... x 2n =0 (4)
... ... ... ... ... ...
2
y n +1 1 x n +1 x n +1 ... x nn+1
Впрочем, этот результат можно проверить, рассуждая следующим образом: во-первых,
выражение (4) должно быть многочленом степени п по х, так как определитель можно
разложить по элементам верхней строчки, и, во-вторых, он проходит через п+1 точку (xi , yi) так
как подстановка этих значений в верхнюю строку делает две строки определителя
одинаковыми.
Все изложенное можно подытожить, сказав, что если есть п+1 узловая точка функции, то
можно найти многочлен степени п, который совпадает с функцией в узловых точках. И таким
образом, мы можем использовать интерполяционный многочлен вместо функции в дальнейших
аналитических процессах: интегрировании, дифференцировании, отыскании нулей и т. д.
Вместо требования, чтобы многочлен проходил через некоторые данные точки, можно
потребовать, чтобы он в некоторых заданных точках имел данный наклон. Так, уравнение
y 1 x x2 x3
y1 1 x1 x 12 x 13
y2 1 x2 x 2
2 x 23 = 0
2
y1 ' 0 1 2 x1 3x 1
2
y2 ' 0 1 2 x2 3x 2
определяет многочлен третьей степени по х, проходящий через (x1, y1) с наклоном y1’ и через (x2,
y2) с наклоном у2’ (так как для дифференцирования этого определителя по х достаточно
продифференцировать почленно его верхнюю строку).
Если в точке дано значение y’ то вовсе не обязательно в ней должно быть указано
значение у, то же относится и к более высоким производным. Ограничением на выбор условий
является требование, чтобы минор члена у обязательно не был равен нулю. В противном случае
многочлена может не существовать. Это означает, что должно быть дано по крайней мере одно
значение функции yi, по крайней мере два условия на yi и уi’, три на yi, yi’, yi” и т. д. вплоть до
производной самого высокого порядка.
Только что сформулированное условие не является достаточным. Рассмотрим, например,
три равноотстоящие точки, которые мы обозначим -1, 0, 1. В каждой точке нам даны функция уi
и вторая производная.
Минор при у равен
