Интерполяция многочленами. Ковтанюк А.Е. - 3 стр.

                                            1      −1          1    −1           1       −1
                                            1       0         0      0           0        0
                                            1       1         1      1           1        1
                                                                                                 = 0
                                            0       0          2    −6        12       − 20
                                            0       0          2     0         0          0
                                            0       0          2     6        12         20

Таким образом, эти шесть условий не определяют многочлена пятой степени.

                                                               Упражнения

      1. Напишите многочлен, проходящий через (x1, y1) с тангенсом угла наклона y1’ и второй
производной у1” и имеющий тангенс угла наклона y2’ в x2.
      2. Показать, что если использовать условия на у, у', у",..., у(n-1) в одной точке x1, то многочлен
будет представлять оборванный ряд Тейлора.
      3. Найти нетривиальный многочлен у(х) такой, что
                                      y(-1) = y(0) = y(1) = y”(-1) = y”(0) = y”(1) = 0.
      4. Построить многочлен 2-й степени проходящий через узловые точки
      а) (0,1), (1,3), (2,2); б) (0,-1), (1,2), (2,1); в) (0,1), (1,-1), (2,3).
      5. Построить многочлен 3-й степени проходящий через узловые точки
      а) (0,2), (1,3), (2,4), (3,1); б) (0,-1), (1,2), (2,1) (3,4); в) (0,2), (1,-1), (2,3), (3,5).
      6. Построить многочлен 3-й степени для следующей табличной функции:

       а)           x                 1                   2                б)                    x                        1           2
                    y                 0                   2                                      y                        1           0
                   y’                 -1                  0                                     y’                        1           2




        в)          x                  1                   2                г)                   X                          1         2
                    y                  0                   1                                     Y                          1         2
                    y’                 1                   0                                     Y’                         0         1




                             § 2. Интерполяционные формулы Лагранжа и Эрмита.

      Другой подход к задаче интерполяции - метод Лагранжа. Основная идея этого метода
состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной
узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, что функция

                                                                                                                    n +1

                                ( x − x1 )( x − x2 )...( x − x j −1 )( x − x j +1 )...( x − xn +1 )                 ∏ ( x − xi )
                 Lj( x ) =                                                                                     =     i =1
                                                                                                                   n +1
                             ( x j − x1 )( x j − x2 )...( x j − x j −1 )( x j − x j + 1 )...( x j − xn + 1 )
                                                                                                                   ∏ ' ( x j − xi )
                                                                                                                   i =1
(где штрих у знака произведения означает отсутствие j-го множителя) является требуемым
многочленом степени n; он равен 1, если x = xj, и 0, когда x=xi, i ≠ j.