Основы инженерных исследований в экологии. Козачек А.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания M(x) называется
дисперсией σ
2
случайной величины х:
σ
2
= M(x – M(x))
2
= M(x
2
) – M
2
(x). (2.30)
Дисперсия является мерой рассеяния значений х около их математического ожидания.
Если появление некоторого события в каждом испытании имеет вероятность р, то математическое ожидание частоты m
этого события при n испытаниях равно
M(m) = np. (2.31)
Из формул (2.30) и (2.31) следует, что дисперсия частоты m появления случайной величины равна
2
σ
m
= np (l – p), (2.32)
а для редких событий, когда n велико, а р очень мало, ее значение определится по формуле
2
σ
m
= np. (2.33)
Для бесповторной выборки
n
nn
ppn
m
1
1
2
)1(σ
−
−=
, (2.34)
где n
1
– количество испытаний, попавших в выборку.
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
222
σσσ
yxyx
+=
+
. (2.35)
Положительное значение квадратного корня из дисперсии называется средним квадратическим отклонением или
стандартом:
)()(σ
22
xMxM −+= . (2.36)
2.1.3. Математическое ожидание непрерывной случайной величины при бесконечном числе ее значений
Обозначим через X некоторую непрерывную случайную величину, которая может принимать любые числовые значения
из промежутка [а; b]. Пусть х есть некоторое число из этого промежутка. Вероятность dр того, что величина X принимает
значения, заключенные между х и x + dx пропорциональна dx (при бесконечно малом dx) и зависит от х, т.е.
dр = φ(х) dx. (2.37)
Здесь функция φ(х) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины X, а произведение φ(x) dx –
элементом вероятности.
Кривая у = φ(х) называется кривой распределения вероятностей данной случайной величины Х (рис. 2.2).
Вероятность того, что случайная величина Х примет значения в промежутке (х
1
; х
2
), равна площади, ограниченной
кривой абсцисс и двумя ординатами, проведенных в точках х = х
1
и х = х
2
, т.е.
()()
∫
ϕ=<<
2
1
21
x
x
dxxxXxp . (2.38)
Следовательно, при разделении отрезка [а; b] на элементарные отрезки длиной ∆х, вероятность того, что случайная
величина х примет какие-либо значения из отрезка [х; х +
∆
х], равна
p(х) = φ(х) ∆ х, (2.39)
а математическое ожидание случайной величины (с учетом формулы (2.25)) будет равно

Страницы