Резонанс в контурах с емкостной связью. Козлов В.И - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

общий элемент - конденсатор C
CB
- навстречу друг другу текут одинаковые токи I
1
=I
2
. Ток
через конденсатор C
CB
равен I
1
- I
2
=0, поэтому конденсатор C
CB
остается незаряженным.
Электрические колебания в этом случае аналогичны механическим, когда пружина связи
не деформируется в процессе колебаний (рис.2бб').
Рассмотрим вторую моду, когда в контурах (рис.2в) токи I
1
и I
2
находятся в
противофазе. Через общий конденсатор C
CB
текут одинаковые токи I
1
и I
2
в одном
направлении, поэтому появляется заряд на конденсаторе C
CB
. Электрические колебания в
этом случае аналогичны механическим, когда пружина связи меняет свою длину в ходе
колебаний (рис.2гг').
Рассчитаем теперь частоты нормальных колебаний системы двух электрических
контуров, связанных через общий конденсатор C
CB
(рис.1). Гармонические незатухающие
колебания в системе возможны, если активное сопротивление контуров отсутствует,
поэтому положим R
1
=R
2
=0. Воспользуемся правилами Кирхгофа. Тогда свободные
электрические колебания в связанных контурах описываются следующей системой
дифференциальных уравнений:
( )
L
dI
dt C
I dt
C
I I dt
CB
1
1
1
1 1 2
1 1
0
+ + − =
∫∫
,
( )
L
dI
dt C
I dt
C
I I dt
CB
2
2
2
2 1 2
1 1
0
+ − − =
∫∫
. (3)
При написании системы уравнений (3) мы предполагаем, что в данный момент
времени токи I
1
и I
2
текут в положительном направлении обхода контуров - по часовой
стрелке. Поэтому при обходе каждого из контуров падение напряжения на элементах L
1
,
L
2
, C
1
, C
2
пишем со знаком «+». Падение напряжения на С
СВ
зависит от величины
разностного тока
∆
I = I
1
- I
2
. Если, например, этот ток (I
1
- I
2
) течет вниз (рис.3), то при
обходе первого контура падение напряжения на С
СВ
надо взять со знаком «+», а при
обходе второго контура - со знаком «-». Естественно, что со временем изменятся величины
и направления этих токов, однако, в уравнениях (3) это будет учитываться автоматически.
Рассмотрим случай одинаковых контуров, когда L
1
=L
2
=L, C
1
=C
2
=C. Сложим первое
и второе уравнения системы (3), а затем вычтем второе уравнение из первого. Учитывая,
что заряды q
1
и q
2
на конденсаторах C
1
и C
2
равны
q I dt
1 2 1 2, ,
=
∫
, после преобразований
получим следующую систему уравнений:
[ ] [ ]
L
d
dt
q q
C
q q
2
2 1 2 1 2
1
0
+ + + =
,
[ ] [ ]
L
d
dt
q q
C С
q q
СВ
2
2 1 2 1 2
1 2
0
− + +
− =
. (4)
Введем новые функции:
A = q
1
+ q
2
,
B = q
1
- q
2
. (5)
Тогда система уравнений (4) преобразуется в систему двух независимых уравнений
гармонических колебаний:
d A
dt
A
H
2
2 1
2
0
+ =
ω
,
d B
dt
B
H
2
2
2
2
0
+ =
ω
(6)
Здесь введены обозначения:
5
                                                           5
общий элемент - конденсатор CCB - навстречу друг другу текут одинаковые токи I1=I2. Ток
через конденсатор CCB равен I1 - I2=0, поэтому конденсатор CCB остается незаряженным.
Электрические колебания в этом случае аналогичны механическим, когда пружина связи
не деформируется в процессе колебаний (рис.2бб').
     Рассмотрим вторую моду, когда в контурах (рис.2в) токи I1 и I2 находятся в
противофазе. Через общий конденсатор CCB текут одинаковые токи I1 и I2 в одном
направлении, поэтому появляется заряд на конденсаторе CCB. Электрические колебания в
этом случае аналогичны механическим, когда пружина связи меняет свою длину в ходе
колебаний (рис.2гг').
     Рассчитаем теперь частоты нормальных колебаний системы двух электрических
контуров, связанных через общий конденсатор CCB (рис.1). Гармонические незатухающие
колебания в системе возможны, если активное сопротивление контуров отсутствует,
поэтому положим R1=R2=0. Воспользуемся правилами Кирхгофа. Тогда свободные
электрические колебания в связанных контурах описываются следующей системой
дифференциальных уравнений:

         dI 1    1                1
       L1     +
          dt C1      ∫  I 1dt +
                                C CB ∫ 1
                                        ( I − I 2 ) dt = 0 ,
        dI      1                1
      L2 2 +
         dt     C2 ∫   I 2 dt −       ( I − I 2 ) dt = 0 .
                                C CB ∫ 1
                                                                                         (3)


     При написании системы уравнений (3) мы предполагаем, что в данный момент
времени токи I1 и I2 текут в положительном направлении обхода контуров - по часовой
стрелке. Поэтому при обходе каждого из контуров падение напряжения на элементах L1,
L2, C1, C2 пишем со знаком «+». Падение напряжения на ССВ зависит от величины
разностного тока ∆I = I1 - I2. Если, например, этот ток (I1 - I2) течет вниз (рис.3), то при
обходе первого контура падение напряжения на ССВ надо взять со знаком «+», а при
обходе второго контура - со знаком «-». Естественно, что со временем изменятся величины
и направления этих токов, однако, в уравнениях (3) это будет учитываться автоматически.
     Рассмотрим случай одинаковых контуров, когда L1=L2=L, C1=C2=C. Сложим первое
и второе уравнения системы (3), а затем вычтем второе уравнение из первого. Учитывая,
что заряды q1 и q2 на конденсаторах C1 и C2 равны q1,2 = ∫ I 1,2 dt , после преобразований
получим следующую систему уравнений:

                   d2            1
                        [
                  L 2 q1 + q 2 +
                   dt
                                ]     [
                                   q + q2 = 0 ,
                                 C 1
                                                 ]
                 d2               1   2 
             L
                 dt
                    [       ]
                    2 q1 − q 2 +    +       [         ]
                                           q − q2 = 0 .
                                  C С СВ  1
                                                                                         (4)


     Введем новые функции:
                        A = q1 + q2 ,
                            B = q1 - q2                        .                         (5)

     Тогда система уравнений (4) преобразуется в систему двух независимых уравнений
     гармонических колебаний:

                 d2A                                           d2B
                      + ω H2 1 A = 0 ,                              +ω   2
                                                                         H2   B= 0       (6)
                 dt 2                                          dt 2
     Здесь введены обозначения:

Страницы