Резонанс в контурах с индуктивной связью. Козлов В.И - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Гармонические незатухающие колебания в системе возможны, если активное
сопротивление контуров R
1
и R
2
отсутствует, поэтому положим R
1
=R
2
=0.
Будем считать, что в контурах текут токи I
1
и I
2
, направление которых показано
стрелками на рис.2. Эти токи текут через катушки L
1
и L
2
и создают магнитные
поля В
1
и В
2
, а значит и магнитные потоки. В случае, когда оси катушек L
1
и L
2
совпадают, а токи I
1
и I
2
в витках катушек направлены так как показано на рис.3а,
суммарное магнитное поле в области между катушками равно магнитному полю
первой катушки (B
1
) плюс магнитное поле второй катушки (B
2
). Тогда магнитный
поток через катушку L
1
принимает вид Ф
1
=L
1
I
1
+L
12
I
2
, а магнитный поток через
катушку L
2
: Ф
2
=L
2
I
2
+L
12
I
1
. Изменение токов I
1
и I
2
приведет к изменению
магнитных потоков Ф
1
и Ф
2
, а значит, к появлению ЭДС индукции
dt
dФ
−=
ε
.
Следовательно, ЭДС индукции в первом контуре
+−=
dt
dI
L
dt
dI
L
2
12
1
11
ε
, а во
втором
+−=
dt
dI
L
dt
dI
L
1
12
2
22
ε
.
Воспользуемся правилами Кирхгофа для контуров (рис.2), тогда мы получим
следующую систему дифференциальных уравнений:
∫
=
dtI
C
1
1
1
+−
dt
dI
L
dt
dI
L
2
12
1
1
,
∫
=
dtI
C
2
2
1
+−
dt
dI
L
dt
dI
L
1
12
2
2
. (3)
При написании системы уравнений (3) мы предполагаем, что в данный момент
времени положительное направление обхода контуров и направление токов I
1
и I
2
совпадают (они указаны стрелками на рис.2). Поэтому при обходе каждого из
контуров падение напряжения на элементах C
1
, C
2
пишем со знаком «+».
Естественно, что со временем изменятся величины и направления этих токов,
однако, в уравнениях (3) это будет учитываться автоматически.
I
1
B
2
B
1
I
2
I
1
B
2
I
2
B
1
(a) ( )б
Рис.3. Мгновенные направления токов I
1
и I
2
в витках катушек и силовых линий
магнитных полей B
1
и B
2
для первой (а) и второй (б) моды.
4
    Гармонические незатухающие колебания в системе возможны, если активное
сопротивление контуров R1 и R2 отсутствует, поэтому положим R1=R2=0.
    Будем считать, что в контурах текут токи I1 и I2, направление которых показано
стрелками на рис.2. Эти токи текут через катушки L1 и L2 и создают магнитные
поля В1 и В2, а значит и магнитные потоки. В случае, когда оси катушек L1 и L2
совпадают, а токи I1 и I2 в витках катушек направлены так как показано на рис.3а,
суммарное магнитное поле в области между катушками равно магнитному полю
первой катушки (B1) плюс магнитное поле второй катушки (B2). Тогда магнитный
поток через катушку L1 принимает вид Ф1=L1I1+L12I2, а магнитный поток через
катушку L2: Ф2=L2I2+L12I1. Изменение токов I1 и I2 приведет к изменению
                                                                                                dФ
магнитных потоков Ф1 и Ф2, а значит, к появлению ЭДС индукции                        ε    = −      .
                                                                                                dt
                                                                        dI      dI 
Следовательно, ЭДС индукции в первом контуре                 ε1=   −  L1 1 + L12 2  ,     а во
                                                                        dt       dt 
                     dI      dI 
втором   ε2=   −  L 2 2 + L12 1    .
                      dt     dt 




                                I2                      B1                I2
               B1

      (a)           I1                   B2       (б)        I1                B2


  Рис.3. Мгновенные направления токов I1 и I2 в витках катушек и силовых линий
       магнитных полей B1 и B2 для первой (а) и второй (б) моды.


    Воспользуемся правилами Кирхгофа для контуров (рис.2), тогда мы получим
следующую систему дифференциальных уравнений:

         I1dt = −  L1 1 + L12 2  ,             I 2 dt = −  L2 2 + L12 1  .
    1                  dI      dI             1                    dI      dI
       ∫                                         ∫                                        (3)
    C1                dt      dt            C2                  dt      dt 

    При написании системы уравнений (3) мы предполагаем, что в данный момент
времени положительное направление обхода контуров и направление токов I1 и I2
совпадают (они указаны стрелками на рис.2). Поэтому при обходе каждого из
контуров падение напряжения на элементах C1, C2 пишем со знаком «+».
Естественно, что со временем изменятся величины и направления этих токов,
однако, в уравнениях (3) это будет учитываться автоматически.

                                              4

Страницы