Резонанс в контурах с индуктивной связью. Козлов В.И - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим случай одинаковых контуров, когда L
1
=L
2
=L, C
1
=C
2
=C. Сложим
первое и второе уравнения системы (3), а затем вычтем второе уравнение из
первого. Учитывая, что заряды q
1
и q
2
на конденсаторах C
1
и C
2
равны
∫
=
dtIq
2,12,1
, после преобразований получим следующую систему уравнений:
( )
[ ] [ ]
0
1
2121
2
2
12
=++++
qq
C
qq
dt
d
LL
,
( )
[ ] [ ]
0
1
2121
2
2
12
=−+−−
qq
C
qq
dt
d
LL
. (4)
Введем новые функции:
q
(+)
= q
1
+ q
2
,
q
(-)
= q
1
- q
2
. (5)
Тогда система уравнений (4) преобразуется в систему двух независимых
уравнений гармонических колебаний:
0
)(2
1
2
)(2
=+
+
+
q
dt
qd
H
ω
,
0
)(2
2
2
)(2
=+
−
−
q
dt
qd
H
ω
. (6)
Здесь введены обозначения:
LC
L
L
L
L
H
1
,
1
,
1
0
12
0
H2
12
0
1
=
−
=
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
. (7)
Уравнения (6) описывают нормальные колебания в связанных контурах,
рассмотренные на рис.2. Поэтому введенные нами функции q
(+)
и q
(-)
(5)
называются нормальными координатами, а частоты, определяемые формулами (7),
суть нормальные частоты. Заряды, а следовательно, и токи, возникающие в
связанных контурах, могут быть представлены как суперпозиция величин q
(+)
и
q
(-)
, которые, как следует из уравнений (6), изменяются по гармоническому закону.
Таким образом, мы видим, что любое колебание в связанных контурах можно
представить как суперпозицию двух нормальных колебаний с нормальными
частотами (7).
Для возбуждения нормальных колебаний в контурах с индуктивной связью, по
аналогии с механическими связанными системами, необходимо выполнение
определенных начальных условий, в противном случае мы получим не нормальные
колебания (моды), а биения.
5
    Рассмотрим случай одинаковых контуров, когда L1=L2=L, C1=C2=C. Сложим
первое и второе уравнения системы (3), а затем вычтем второе уравнение из
первого. Учитывая, что заряды q1 и q2 на конденсаторах C1 и C2 равны q1, 2 = ∫ I 1, 2 dt
, после преобразований получим следующую систему уравнений:

                      d2
     (L +     L12 )      2
                           [ q1 + q2 ] + 1 [ q1 + q2 ] = 0 ,
                      dt                 C

                      d2
     (L −     L12 )      2
                           [ q1 − q2 ] + 1 [ q1 − q2 ] = 0 .                           (4)
                      dt                 C

    Введем новые функции:

    q(+) = q1 + q2,

    q(-) = q1 - q2                .                                              (5)

    Тогда система уравнений (4) преобразуется в систему двух независимых
уравнений гармонических колебаний:

     d 2q( + )
               +ω          2
                           H 1q
                                (+ )
                                       = 0,
       dt 2

     d 2q ( − )
                +ω         2
                           H 2q
                                (− )
                                       = 0.                                            (6)
       dt 2

    Здесь введены обозначения:

                       ω                           ω                      1
     ω   H1   =             0
                                   ,ω   H2    =        0
                                                             ,ω   0   =
                            L12                        L12                LC .         (7)
                      1+                          1−
                             L                          L

      Уравнения (6) описывают нормальные колебания в связанных контурах,
рассмотренные на рис.2. Поэтому введенные нами функции q(+) и q(-) (5)
называются нормальными координатами, а частоты, определяемые формулами (7),
суть нормальные частоты. Заряды, а следовательно, и токи, возникающие в
связанных контурах, могут быть представлены как суперпозиция величин q(+) и
q(-), которые, как следует из уравнений (6), изменяются по гармоническому закону.
Таким образом, мы видим, что любое колебание в связанных контурах можно
представить как суперпозицию двух нормальных колебаний с нормальными
частотами (7).
      Для возбуждения нормальных колебаний в контурах с индуктивной связью, по
аналогии с механическими связанными системами, необходимо выполнение
определенных начальных условий, в противном случае мы получим не нормальные
колебания (моды), а биения.
                                                                            5

Страницы