Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 52 стр.

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МГТУ ГА | Москва

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25. y
000
tg 5x = 5y
00
, 26. tg x · y
00
− y
0
+ 1/ sin x = 0,
27. xy
000
+ y
00
=
√
x, 28. 2xy
000
= y
00
,
29. xy
000
+ y
00
+ x = 0, 30. y
000
· x · ln x = y
00
.
V. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ:
1) 4y
3
y
00
= y
4
− 1, y(0) =
√
2, y
0
(0) = 1/(2
√
2);
2) y
00
y
3
+ 1 = 0, y(1) = −1, y
0
(1) = −1;
3) y
00
= 2y
3
, y(−1) = 1, y
0
(−1) = 1;
4) y
00
= 128y
3
, y(0) = 1, y
0
(0) = 8;
5) y
00
y
3
+ 64 = 0, y(0) = 4, y
0
(0) = 2;
6) y
3
y
00
= y
4
− 16, y(0) = 2
√
2, y
0
(0) =
√
2;
7) y
00
= 2 sin
3
y cos y, y(1) = π/2, y
0
(1) = 1;
8) y
00
y
3
+ 4 = 0, y(0) = −1, y
0
(0) = −2;
9) y
00
= 8y
3
, y(0) = 1, y
0
(0) = 2;
10) y
00
+ 50 sin y cos
3
y = 0, y(0) = 0, y
0
(0) = 5;
11) y
3
y
00
= 4(y
4
− 1), y(0) =
√
2, y
0
(0) =
√
2;
12) y
00
y
3
+ 9 = 0, y(1) = 1, y
0
(1) = 3;
13) y
00
= 18y
3
, y(1) = 1, y
0
(1) = 3;
14) y
00
= 50 sin
3
y cos y, y(1) = π/2, y
0
(1) = 5;
15) y
00
+ 2 sin y cos
3
y, y(0) = 0, y
0
(0) = 1;
16) y
00
= 32 sin
3
y cos y, y(1) = π/2, y
0
(1) = 4;
17) y
00
= 98y
3
, y(1) = 1, y
0
(1) = 7;
18) y
00
y
3
+ 49 = 0, y(3) = −7, y
0
(3) = −1;
19) 4y
3
y
00
= 16y
4
− 1, y(0) =
√
2/2, y
0
(0) = 1/
√
2;
20) y
00
+ 8 sin y cos
3
y = 0, y(0) = 0, y
0
(0) = 2;
21) y
00
= 72y
3
, y(2) = 1, y
0
(2) = 6;
22) y
00
y
3
+ 36 = 0, y(0) = 3, y
0
(0) = 2;
23) y
00
= 18 sin
3
y cos y, y(1) = π/2, y
0
(1) = 3;
24) 4y
3
y
00
= y
4
− 16, y(0) = 2
√
2, y
0
(0) = 1/
√
2;
25) y
00
= 50y
3
, y(3) = 1, y
0
(3) = 5;
26) y
00
y
3
+ 25 = 0, y(2) = −5, y
0
(2) = −1;
27) y
00
+ 18 sin y cos
3
y = 0, y(0) = 0, y
0
(0) = 3;
28) y
00
= 8 sin
3
y cos y, y(1) = π/2, y
0
(1) = 2;
29) y
00
= 32y
3
, y(4) = 1, y
0
(4) = 4;
30) y
00
y
3
+ 16 = 0, y(1) = 2, y
0
(1) = 2.
VI. úÁÐÉÛÉÔÅ ×ÉÄ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
1) 2y
00
+ 5y
0
= f(x), ÇÄÅ f(x) = 5x
2
− 1; f(x) = 5 cos x.
2) y
00
− 3y
0
+ 2y = f(x), ÇÄÅ f(x) = 3e
2x
; f(x) = 3x + 5 sin 2x.
3) y
00
− 3y
0
+ 2y = f(x), ÇÄÅ f(x) = e
x
(3 − 4x); f(x) = cos
2
x.
52
25. y 000 tg 5x = 5y√
                     00
                        ,                       26. tg x · y 00 − y 0 + 1/ sin x = 0,
         000   00
27. xy + y = x,                                 28. 2xy 000 = y 00 ,
29. xy 000 + y 00 + x = 0,                      30. y 000 · x · ln x = y 00 .
                             V. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ:
                                     √                       √
    1) 4y 3 y 00 = y 4 − 1, y(0) = 2, y 0 (0) = 1/(2 2);
    2) y 00 y 3 + 1 = 0, y(1) = −1, y 0 (1) = −1;
    3) y 00 = 2y 3 , y(−1) = 1, y 0 (−1) = 1;
    4) y 00 = 128y 3, y(0) = 1, y 0 (0) = 8;
    5) y 00 y 3 + 64 = 0, y(0) = 4, √  y 0 (0) = 2; √
    6) y 3 y 00 = y 4 − 16, y(0) = 2 2, y 0 (0) = 2;
    7) y 00 = 2 sin3 y cos y, y(1) = π/2, y 0 (1) = 1;
    8) y 00 y 3 + 4 = 0, y(0) = −1, y 0 (0) = −2;
    9) y 00 = 8y 3 , y(0) = 1, y 0 (0) = 2;
   10) y 00 + 50 sin y cos3 y = 0, y(0)√     = 0, y 0 (0)√= 5;
   11) y 3 y 00 = 4(y 4 − 1), y(0) = 2, y 0 (0) = 2;
   12) y 00 y 3 + 9 = 0, y(1) = 1, y 0 (1) = 3;
   13) y 00 = 18y 3, y(1) = 1, y 0 (1) = 3;
   14) y 00 = 50 sin3 y cos y, y(1) = π/2, y 0 (1) = 5;
   15) y 00 + 2 sin y cos3 y, y(0) = 0, y 0 (0) = 1;
   16) y 00 = 32 sin3 y cos y, y(1) = π/2, y 0 (1) = 4;
   17) y 00 = 98y 3, y(1) = 1, y 0 (1) = 7;
   18) y 00 y 3 + 49 = 0, y(3) = −7,√y 0 (3) = −1;              √
   19) 4y 3 y 00 = 16y 4 − 1, y(0) = 2/2, y 0 (0) = 1/ 2;
   20) y 00 + 8 sin y cos3 y = 0, y(0) = 0, y 0 (0) = 2;
   21) y 00 = 72y 3, y(2) = 1, y 0 (2) = 6;
   22) y 00 y 3 + 36 = 0, y(0) = 3, y 0 (0) = 2;
   23) y 00 = 18 sin3 y cos y, y(1) =√π/2, y 0 (1) = 3;      √
   24) 4y 3 y 00 = y 4 − 16, y(0) = 2 2, y 0 (0) = 1/ 2;
   25) y 00 = 50y 3, y(3) = 1, y 0 (3) = 5;
   26) y 00 y 3 + 25 = 0, y(2) = −5, y 0 (2) = −1;
   27) y 00 + 18 sin y cos3 y = 0, y(0) = 0, y 0 (0) = 3;
   28) y 00 = 8 sin3 y cos y, y(1) = π/2, y 0 (1) = 2;
   29) y 00 = 32y 3, y(4) = 1, y 0 (4) = 4;
   30) y 00 y 3 + 16 = 0, y(1) = 2, y 0 (1) = 2.
     VI. úÁÐÉÛÉÔÅ ×ÉÄ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ
                                      ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
    1) 2y 00 + 5y 0 = f (x), ÇÄÅ f (x) = 5x2 − 1; f (x) = 5 cos x.
    2) y 00 − 3y 0 + 2y = f (x), ÇÄÅ f (x) = 3e2x ; f (x) = 3x + 5 sin 2x.
    3) y 00 − 3y 0 + 2y = f (x), ÇÄÅ f (x) = ex (3 − 4x); f (x) = cos2 x.
                                           52

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