Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 3: Статически неопределимые системы. Метод сил. Крамаренко А.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

21 22
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
00
69
69
00
69
69
120
5,015,005,015,0
5,135,105,135,1
EJ
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
EJ
12
EJ
18
EJ
72
0
1218
720
EJ
1
.
Из полученной матрицы перемещений видно, что горизон-
тальное перемещение узла К равно нулю, что и следовало ожи-
дать, так как вычисление этого перемещения по формуле Мора
∑
∫
=
=Δ
3
1k
0
k
qkk1
)q(
kx
k
EJ
ds)s(M)s(M
l
сводится к сопряжению симметричной эпюры изгибающих мо-
ментов M
q
с обратносимметричной эпюрой изгибающих момен-
тов М
1
. Так как величины перемещений
)q(
k
θ
,
)M(
kx
Δ
и
)M(
k
θ
полу-
чились отрицательными, то это значит, что направление этих пе-
ремещений противоположно направлению соответствующих
единичных силовых факторов.
П
РИМЕР 13.4.2. В ферме, показанной на рис. 13.5,а, от со-
средоточенных сил F = 16 кН определить вертикальное переме-
щение узла 1 (Δ
1у
) и горизонтальное перемещение узла 6 (Δ
6х
), т.е.
вычислить элементы матрицы перемещений
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
=Δ
)F(
x6
)F(
y1
F
.
Жёсткости поперечных сечений элементов фермы на растя-
жение–сжатие известны и равны: для горизонтальных стержней –
2ЕА, вертикальных – ЕА, наклонных – 0,5ЕА.
Требуемую матрицу пере-
мещений определим по форму-
ле (13.14)
F
Δ
=
FN
T
i
NBN.
1. Определение продоль-
ных усилий в стержнях фермы
от заданной нагрузки F = 16 кН
(рис. 13.5,а).
2. Определение продоль-
ных усилий в стержнях фермы
от вертикальной единичной си-
лы F
1y
, приложенной к узлу 1
(рис. 13.5,б) и от горизонталь-
ной единичной силы F
6x
= 1,
приложенной к узлу 6
(рис. 13.5,в).
Результаты расчётов по оп-
ределению усилий в стержнях
фермы от заданной нагрузки и
от единичных сосредоточенных
сил приведены в табл. 1. Про-
дольные усилия от заданной на-
грузки вычислены в кН.
Таблица 1
N
A1
N
23
N
3B
N
45
N
56
N
A2
N
24
F=16 кН -16 -16 -16 -2,67 -2,67 -14 -2
F
1y
=1 0 0 0 -0,67 -0,67 -0,5 -0,5
F
6x
=1 -1 -1 0 0 0 -0,75 0
Продолжение табл. 1
N
13
N
35
N
B6
N
43
N
36
N
21
F=16 кН -12 -16 -2 3,33 3,33 20
F
1y
=1 1 0 -0,5 0,83 0,83 0
F
6x
=1 -0,75 0 0,75 0 -1,25 1,25 
                                     ⎡0     − 12⎤                          Требуемую матрицу пере-
                                     ⎢− 9   − 6 ⎥⎥                    мещений определим по форму-
                                     ⎢                                ле (13.14)
                                     ⎢− 9   −6⎥
      1 ⎡1,5 3 1,5 0 − 1,5 3 1,5 ⎤ ⎢             ⎥                             Δ F = N iT B N N F .
    =    ⎢                         ⎥ 0       0 ⎥=
      EJ ⎣0,5 1 0,5 0 − 0,5 − 1 0,5⎦ ⎢                                     1. Определение продоль-
                                     ⎢− 9    6 ⎥
                                     ⎢           ⎥                    ных усилий в стержнях фермы
                                     ⎢9     −6⎥                       от заданной нагрузки F = 16 кН
                                     ⎢0      0 ⎥⎦                     (рис. 13.5,а).
                                     ⎣                                     2. Определение продоль-
                          ⎡         72 ⎤                              ных усилий в стержнях фермы
                             0 − ⎥                                    от вертикальной единичной си-
        1 ⎡ 0 − 72⎤ ⎢               EJ .
     =     ⎢         ⎥=⎢               ⎥                              лы F1y , приложенной к узлу 1
       EJ ⎣− 18 − 12 ⎦ ⎢− 18 − 12 ⎥
                                                                      (рис. 13.5,б) и от горизонталь-
                          ⎣ EJ EJ ⎦
                                                                      ной единичной силы F6x = 1,
    Из полученной матрицы перемещений видно, что горизон-             приложенной         к     узлу 6
тальное перемещение узла К равно нулю, что и следовало ожи-           (рис. 13.5,в).
дать, так как вычисление этого перемещения по формуле Мора                 Результаты расчётов по оп-
                              3 l k M (s) M (s)ds
                                     1k      qk                       ределению усилий в стержнях
                     Δ(kx
                       q)
                            =∑∫
                             k =1 0      EJ                           фермы от заданной нагрузки и
                                            k
                                                                      от единичных сосредоточенных
сводится к сопряжению симметричной эпюры изгибающих мо-
                                                                      сил приведены в табл. 1. Про-
ментов Mq с обратносимметричной эпюрой изгибающих момен-
                                                                      дольные усилия от заданной на-
тов М1. Так как величины перемещений θ (kq ) , Δ(kx
                                                 M)
                                                    и θ (kM ) полу-   грузки вычислены в кН.
чились отрицательными, то это значит, что направление этих пе-
ремещений противоположно направлению соответствующих
единичных силовых факторов.
    П Р И М Е Р 13.4.2. В ферме, показанной на рис. 13.5,а, от со-                                                            Таблица 1
средоточенных сил F = 16 кН определить вертикальное переме-                         NA1    N23     N3B     N45     N56     NA2    N24
щение узла 1 (Δ1у) и горизонтальное перемещение узла 6 (Δ6х), т.е.      F=16 кН     -16    -16     -16    -2,67   -2,67    -14     -2
вычислить элементы матрицы перемещений                                   F1y=1       0      0       0     -0,67   -0,67    -0,5   -0,5
                                                                         F6x=1       -1     -1      0       0       0     -0,75     0
                                 ⎡Δ( F) ⎤
                           Δ F = ⎢ (1Fy) ⎥ .                                                              Продолжение табл. 1
                                 ⎢⎣Δ 6 x ⎥⎦                                         N13    N35     NB6    N43      N36    N21
                                                                        F=16 кН     -12    -16      -2    3,33    3,33     20
    Жёсткости поперечных сечений элементов фермы на растя-
                                                                         F1y=1       1      0      -0,5   0,83     0,83     0
жение–сжатие известны и равны: для горизонтальных стержней –             F6x=1     -0,75    0      0,75    0      -1,25   1,25
2ЕА, вертикальных – ЕА, наклонных – 0,5ЕА.
                                 21                                                                  22

Страницы