Составители:
Рубрика:
7 8
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Φ
Φ
Φ
=Φ
)е(
)с(
)в(
ik
ik
ik
ik
;
[
]
)е()с()в(
Т
ikikik
ik
ΦΦΦ=Φ ;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Φ
Φ
Φ
=Φ
)е(
)с(
)в(
Fk
Fk
Fk
Fk
;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)e(
k
0
)c(
k
0
)в(
k
0
0
k
)e(
k
)c(
k
)в(
k
k
k
T
T
00
0
T
T
40
00
T
T
T6
T
1
00
0
T
4
0
00
T
1
6
P
ll
;
T
ik
Φ – матрица, транспо-
нированная по отноше-
нию к матрице Ф
ik
;
)в(
k
)в(
Fk
)в(
ik
T,, ΦΦ – значе-
ние функций, входящих в
подынтегральное выра-
жение (13.1) в начале ин-
тервала;
)c(
k
)c(
Fk
)c(
ik
T,, ΦΦ –
в середине;
)e(
Fk
)e(
ik
, ΦΦ ,
)e(
k
T – в конце интервала
(рис. 13.2); Т
0
– некото-
рое произвольное число.
Матричная трактов-
ка формулы Симпсона
(13.2) позволяет вычис-
лить перемещения от силового воздействия с любой предвари-
тельно заданной точностью.
В частном случае, когда T
k
(s) = const = T
k
, соотношение
(13.2) перепишется:
(
)
.P
4
T6
ds)s()s(
T
1
Fk
ik
FkikFkikFkik
k
k
T
)е()е()с()с()в()в(
0
k
0
Fkik
k
ΦΦ=
=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=ΦΦ
∫
l
l
(13.3)
Так как
k
)е(
k
)с(
k
)в(
k
TTTT === , то приняв Т
0
= Т
k
, в этом случае
получим:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
040
001
T6
P
k
k
k
l
.
Значение определённого интеграла (13.3) будет точным, если
подынтегральная функция будет представлять собой алгебраиче-
ский полином степени не выше третьей (например, когда опреде-
ляются линейные и угловые перемещения отдельных сечений и
узлов стержневых систем от силового воздействия, включающего
сосредоточенные силы и моменты, а также равномерно распреде-
лённые нагрузки). Если же силовое воздействие
содержит рас-
пределённые нагрузки с переменными интенсивностями, то мат-
ричная формулировка формулы Симпсона и в случае, когда T
k
(s)
= const даёт приближённое значение определённого интеграла
(13.3).
13.3. Вычисление интегралов формулы Мора в матричной
форме в случае линейных подынтегральных функций
Ф
ik
(s), Ф
Fk
(s)
В п. 13.2 упоминалось, что численное значение определённо-
го интеграла (13.1) можно получить в матричной форме (13.2)
.P
)s(T
ds)s()s(
Fkk
ik
k
Т
0
k
Fkik
ΦΦ=
ΦΦ
∫
l
Учитывая линейность функций Ф
ik
(s) и Ф
Fk
(s), их значения
при s = 0,5ℓ
k
)c(
ik
Φ и
)c(
Fk
Φ выразим через
)в(
ik
Φ и
)в(
Fk
Φ при s = 0 и
)е(
ik
Φ и
)е(
Fk
Φ при s = ℓ
k
(рис. 13.3).
⎡Φ ( в ) ⎤ ⎡Φ ( в ) ⎤ 1 lk
∫ Φ ik (s)Φ Fk (s)ds =
lk
( )
Φ ( в ) Φ ( в ) + 4Φ ( с ) Φ ( с ) + Φ ( е ) Φ ( е ) =
[ ]
⎢ ik ⎥ ⎢ Fk ⎥ Tk 0 6T0 ik Fk ik Fk ik Fk
⎢
Φ ik = Φ (с) ⎥ Т
; Φ = Φ (в)
Φ Φ ; Φ Fk = ⎢Φ ( с ) ⎥ ;
(с) (е) (13.3)
⎢ ik ⎥ ik ik ik ik ⎢ Fk ⎥ = Φ T Pk Φ .
⎢Φ ( е ) ⎥ ⎢Φ ( е ) ⎥ ik Fk
⎣ ik ⎦ ⎣ Fk ⎦
Так как Tk( в ) = Tk( с ) = Tk( е ) = Tk , то приняв Т0 = Тk, в этом случае
⎡ 1 ⎤ ⎡ T ⎤
⎢ (в) 0 0 ⎥ ⎢ (0в ) 0 0 ⎥ получим:
⎢ Tk ⎥ ⎢ Tk ⎥ ⎡1 0 0 ⎤
lk ⎢ ⎥ lk ⎢ T0 ⎥ lk ⎢
0 4 0⎥⎥ .
4
Pk = ⎢ 0 0 ⎥ = ⎢ 0 4 0 ⎥; Pk = ⎢
6 ⎢ Tk( c ) ⎥ 6T0 ⎢ Tk( c ) ⎥ 6Tk
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎢ 1 ⎥ ⎢ T0 ⎥
⎢ 0 0 ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ Значение определённого интеграла (13.3) будет точным, если
⎣⎢ Tk( e ) ⎦⎥ ⎢⎣ Tk( e ) ⎥⎦ подынтегральная функция будет представлять собой алгебраиче-
T ский полином степени не выше третьей (например, когда опреде-
Φ ik – матрица, транспо-
ляются линейные и угловые перемещения отдельных сечений и
нированная по отноше- узлов стержневых систем от силового воздействия, включающего
нию к матрице Фik; сосредоточенные силы и моменты, а также равномерно распреде-
(в)
Φ ik , Φ (Fk
в)
, Tk( в) – значе- лённые нагрузки). Если же силовое воздействие содержит рас-
ние функций, входящих в пределённые нагрузки с переменными интенсивностями, то мат-
подынтегральное выра- ричная формулировка формулы Симпсона и в случае, когда Tk(s)
жение (13.1) в начале ин- = const даёт приближённое значение определённого интеграла
(c)
(13.3).
тервала; Φ ik , Φ (Fk
c)
, Tk(c ) –
13.3. Вычисление интегралов формулы Мора в матричной
в середине; Φ ik( e ) , Φ (Fke ) , форме в случае линейных подынтегральных функций
Tk( e ) – в конце интервала Фik(s), ФFk(s)
(рис. 13.2); Т0 – некото- В п. 13.2 упоминалось, что численное значение определённо-
рое произвольное число. го интеграла (13.1) можно получить в матричной форме (13.2)
Матричная трактов- l k Φ (s)Φ (s)ds
ка формулы Симпсона ∫
ik Fk
= ΦТ P Φ .
(13.2) позволяет вычис- 0 Tk (s ) ik k Fk
лить перемещения от силового воздействия с любой предвари- Учитывая линейность функций Фik(s) и ФFk(s), их значения
тельно заданной точностью. (c)
при s = 0,5ℓk Φ ik и Φ (Fk
c) (в)
выразим через Φ ik и Φ (Fk
в)
при s = 0 и
В частном случае, когда Tk(s) = const = Tk, соотношение
(е)
(13.2) перепишется: Φ ik и Φ (Fk
е)
при s = ℓk (рис. 13.3).
7 8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
