Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 4: Статически неопределимые системы. Метод перемещений. Крамаренко А.А - 38 стр.

                                                                  равнодействующей Rj. Проекции этой равнодействующей на оси
                                                                  y и x обозначим соответственно через Rjy и Rjx (рис. 22.2,а). На
                                                                  узел h (рис. 22.2,б) действуют сосредоточенный момент M ′h и
                                                                  произвольная сосредоточенная сила Rh (ее проекции на оси y и x
                                                                  – Rhy и Rhx).
                                                                       В концевых сечениях элемента j действуют концевые уси-
                                                                  лия: концевые изгибающие моменты Mj и Mh, концевые попереч-
                                                                  ные силы Qj и Qh и концевые продольные силы Nj и Nh. На
                                                                  рис. 22.2,а показаны положительные концевые усилия. Особо
                                                                  следует подчеркнуть, что концевой изгибающий момент считает-
                                                                  ся положительным, если он элемент вращает по часовой стрелке,
                                                                  и отрицательным, – если против часовой стрелки.
                                                                       Из условий равновесия j-го элемента получим:
                                                                          ∑ Fx = 0, − N j + Nh + R jx = 0, R jx = N j − Nh ; (22.6)
                             Рис. 22.2                                   ∑ Fy = 0, Q j − Qh − R jy = 0, R jy = Q j − Qh ;    (22.7)
    Для полного ансамбля разобщенных друг от друга элементов           На рис. 22.2,в показаны угловые и линейные перемещения
сооружения, используя (22.3), имеем:                              концевых сечений j-го элемента в i-м состоянии. Повороты кон-
                   m              m               m               цевых сечений элементов будем считать положительными, если
                   ∑ Wint, j = ∑ W ext , j + ∑ A j .     (22.4)
                                                                  они происходят по часовой стрелке, и отрицательными, – если
                   j=1            j=1             j=1
                                                                  против часовой стрелки. Взаимное смещение концов j и h в на-
     Подставив выражение (22.4) в соотношение (22.1), оконча-
                                                                  правлении, перпендикулярном оси стержня до его деформации (в
тельно получим математическую формулировку теоремы о рабо-
                                                                  направлении оси y), называется перекосом j-го элемента. Из
те концевых усилий:
                                            g
                                                                  рис. 22.2,в видно, что
                            m
                     R ik = ∑ A j − ∑ Wext ,h .          (22.5)                          Δ jh = Δ jy + Δ hy .             (22.8)
                            j=1            h =1                       Перекос j-го элемента считается положительным, если в ре-
     В общей форме теорема о работе концевых усилий может         зультате линейных перемещений концов j и h его поворот совер-
быть прочитана так: реакция i-й связи k-го равновесного состоя-   шается по часовой стрелке, и отрицательным, – если против ча-
ния сооружения равна работе концевых усилий его элементов и       совой стрелки.
взятой с обратным знаком работе узловых сил на перемещениях,          Так как в расчетах стержневых систем методом перемеще-
вызванных единичным смещением i-й связи.                          ний пренебрегают изменениями длин их элементов под воздейст-
     Конкретизируем эту теорему для плоских стержневых систем.    вием продольных сил, то взаимное смещение концов j и h j-го
     Концевое сечение отдельного элемента, примыкающее к уз-      элемента в направлении его оси (в направлении оси x) равно ну-
лу h, обозначим через h (рис. 22.2,а), а противоположное конце-   лю, т.е.
вое сечение – через j (в соответствии с номером рассматриваемо-                           Δ jx + Δ hx = 0.                 (22.9)
го элемента). Нагрузку, действующую на j-й элемент, заменим
                                      73                                                             74