Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 4: Статически неопределимые системы. Метод перемещений. Крамаренко А.А - 39 стр.

UptoLike

Рубрика: 

75 76
Вернемся к соотношению (22.5) и вычислим его правую
часть для плоских стержневых систем.
Для отдельного j-го элемента имеем:
.)()(
)()(
hx
hj
hxjx
j
hy
hj
hyjy
j
h
h
j
j
hx
h
hx
j
hx
j
jx
j
hy
h
hy
j
hy
j
jy
j
h
h
j
j
hx
h
jx
j
hy
h
jy
j
h
h
j
jj
NNN
QQQ
MM
NNNN
QQQQ
MM
NN
QQ
MMA
ΔΔΔ
ΔΔΔ
θθ
ΔΔΔΔ
ΔΔΔΔ
θθ
ΔΔΔΔ
θθ
++
++++=
=+++
+++++=
=+++++=
С учетом соотношений (22.6)–(22.8) возможная работа кон-
цевых усилий j-го элемента на перемещениях, имеющих место в
i-м состоянии (рис. 22.2,б) перепишется:
.
hxjxhyjyjh
j
h
h
j
jj
RR
Q
MMA ΔΔΔ
θθ
+
+
= (22.10)
Для всех элементов заданного сооружения работа концевых
усилий суммируется
),()(
hxjxhy
g
1h
jyjh
j
h
h
j
m
1j
j
m
1j
j
RR
Q
MMA ΔΔ
Δ
θθ
+++=
===
(22.11)
причем составляющие R
jy
и R
jx
равнодействующей нагрузки,
приложенной к j-му элементу, работу совершают на линейных
перемещениях узла h (Δ
hy
и Δ
hx
), происходящих в i-м состоянии
(рис. 22.2,в). Как видно из рис. 22.2,а, узел h расположен в сторо-
не, противоположной концевому сечению j, т.е. сечению, в кото-
ром зафиксирована концевая поперечная сила Q
j
.
Работа узловых сил, действующих на отдельный узел h
(рис. 22.2,б), на перемещениях этого узла, совпадающих с пере-
мещениями концевого сечения h j-го элемента в i-м состоянии,
будет равна:
.
hxhxhyhy
h
h
h,ext
RRM
W
Δ
Δ
θ
++
=
(22.12)
Для всех узлов стержневой системы выражение (22.12) сум-
мируется от h до g
).(
hxhxhyhy
h
g
1h
h
g
1h
h,ext
RRM
W
ΔΔ
θ
++=
==
(22.13)
Подставив соотношения (22.11) и (22.13) в формулу (22.5),
окончательно получим математическую формулировку теоремы о
работе концевых усилий для плоских стержневых систем:
].)()([
)(
hxhxjxhyhyjy
h
h
g
1h
jh
j
h
h
j
m
1j
jin
RRRRM
Q
MMR
ΔΔ
θ
Δ
θθ
++++
++=
=
=
(22.14)
В матричной форме выражение (22.14) перепишется:
.
F
cSa
R
k
т
k
т
k
= (22.15)
Поясним смысл матриц, входящих в соотношение (22.15):
R
k
матрица искомых реакций в связях стержневой системы,
находящейся в k-м равновесном состоянии при любых заданных
внешних воздействиях (силовых, температурных, кинематиче-
ских);
S
k
матрица концевых усилий элементов сооружения (изги-
бающих моментов M
j
и M
h
и поперечных сил Q
j
), возникающих в
k-м состоянии от заданных внешних воздействий;
F
k
матрица нагрузок (сосредоточенных моментов
M
h
и
сосредоточенных сил (R
jy
+ R
hy
), (R
jx
+ R
hx
)), действующих на уз-
лы сооружения в k-м равновесном состоянии;
aматрица концевых перемещений элементов стержневой
системы (углов поворота концевых сечений θ
j
и θ
h
отдельных
стержней и их перекосов Δ
jh
) от единичного смещения связей, в
которых определяются реакции от заданных внешних воздейст-
вий;
сматрица угловых θ
h
и линейных перемещений Δ
hy
и Δ
hx
узлов от единичного смещения связей, где определяются реакции
в k-м равновесном состоянии сооружения.
Число столбцов в матрицах R
k
, S
k
и
F
k
равно числу вариан-
тов внешних воздействий, а в матрицах
a и счислу связей, в ко-
торых определяются реакции от заданных воздействий. Число
строк в матрице R
k
соответствует числу связей, где необходимо
определить реакции в k-м равновесном состоянии сооружения.
    Вернемся к соотношению (22.5) и вычислим его правую                                Подставив соотношения (22.11) и (22.13) в формулу (22.5),
часть для плоских стержневых систем.                                               окончательно получим математическую формулировку теоремы о
    Для отдельного j-го элемента имеем:                                            работе концевых усилий для плоских стержневых систем:
       A j = M j θ j + M h θh + Q j Δ jy + Qh Δ hy + N j Δ jx + Nh Δ hx =                          m
                                                                                          R in = ∑ (M j θ j + M h θh + Q j Δ jh ) −
        = M j θ j + M h θh + Q j Δ jy + Q j Δ hy − Q j Δ hy + Qh Δ hy +                            j=1
                                                                                                                                                        (22.14)
                                                                                             g
        + N j Δ jx + N j Δ hx − N j Δ hx + N h Δ hx =                                     − ∑ [ M ′h θh + (R jy + R hy) Δ hy + (R jx + R hx ) Δ hx ].
                                                                                            h =1
        = M j θ j + M h θh + Q j (Δ jy + Δ hy) − (Q j − Qh ) Δ hy +                     В матричной форме выражение (22.14) перепишется:
                                                                                                                т      т
        + N j (Δ jx + Δ hx ) − ( N j − N h ) Δ hx .                                                      R k = a Sk − c F′k .                (22.15)
     С учетом соотношений (22.6)–(22.8) возможная работа кон-                           Поясним смысл матриц, входящих в соотношение (22.15):
цевых усилий j-го элемента на перемещениях, имеющих место в                             Rk – матрица искомых реакций в связях стержневой системы,
i-м состоянии (рис. 22.2,б) перепишется:                                           находящейся в k-м равновесном состоянии при любых заданных
       A j = M j θ j + M h θh + Q j Δ jh − R jy Δ hy − R jx Δ hx . (22.10)         внешних воздействиях (силовых, температурных, кинематиче-
                                                                                   ских);
    Для всех элементов заданного сооружения работа концевых                             Sk – матрица концевых усилий элементов сооружения (изги-
усилий суммируется                                                                 бающих моментов Mj и Mh и поперечных сил Qj), возникающих в
  m        m                                   g
                                                                                   k-м состоянии от заданных внешних воздействий;
  ∑ A j = ∑ (M j θ j + M h θh + Q j Δ jh ) − ∑ (R jy Δ hy + R jx Δ hx ), (22.11)
  j=1     j=1                                 h =1                                      F′k – матрица нагрузок (сосредоточенных моментов M ′h и
причем составляющие Rjy и Rjx равнодействующей нагрузки,                           сосредоточенных сил (Rjy + Rhy), (Rjx + Rhx)), действующих на уз-
приложенной к j-му элементу, работу совершают на линейных                          лы сооружения в k-м равновесном состоянии;
перемещениях узла h (Δhy и Δhx), происходящих в i-м состоянии                           a – матрица концевых перемещений элементов стержневой
(рис. 22.2,в). Как видно из рис. 22.2,а, узел h расположен в сторо-                системы (углов поворота концевых сечений θj и θh отдельных
не, противоположной концевому сечению j, т.е. сечению, в кото-                     стержней и их перекосов Δjh) от единичного смещения связей, в
ром зафиксирована концевая поперечная сила Qj.                                     которых определяются реакции от заданных внешних воздейст-
     Работа узловых сил, действующих на отдельный узел h                           вий;
(рис. 22.2,б), на перемещениях этого узла, совпадающих с пере-                          с – матрица угловых θh и линейных перемещений Δhy и Δhx
мещениями концевого сечения h j-го элемента в i-м состоянии,                       узлов от единичного смещения связей, где определяются реакции
будет равна:                                                                       в k-м равновесном состоянии сооружения.
               W ext ,h = M ′h θh + R hy Δ hy + R hx Δ hx . (22.12)                     Число столбцов в матрицах Rk, Sk и F′k равно числу вариан-
    Для всех узлов стержневой системы выражение (22.12) сум-                       тов внешних воздействий, а в матрицах a и с – числу связей, в ко-
мируется от h до g                                                                 торых определяются реакции от заданных воздействий. Число
            g              g                                                       строк в матрице Rk соответствует числу связей, где необходимо
            ∑ W ext ,h = ∑ (M ′h θh + R hy Δ hy + R hx Δ hx ).         (22.13)     определить реакции в k-м равновесном состоянии сооружения.
           h =1           h =1


                                         75                                                                               76