Составители:
Рубрика:
75 76
Вернемся к соотношению (22.5) и вычислим его правую
часть для плоских стержневых систем.
Для отдельного j-го элемента имеем:
.)()(
)()(
hx
hj
hxjx
j
hy
hj
hyjy
j
h
h
j
j
hx
h
hx
j
hx
j
jx
j
hy
h
hy
j
hy
j
jy
j
h
h
j
j
hx
h
jx
j
hy
h
jy
j
h
h
j
jj
NNN
QQQ
MM
NNNN
QQQQ
MM
NN
QQ
MMA
ΔΔΔ
ΔΔΔ
θθ
ΔΔΔΔ
ΔΔΔΔ
θθ
ΔΔΔΔ
θθ
−−++
+−−+++=
=+−++
++−+++=
=+++++=
С учетом соотношений (22.6)–(22.8) возможная работа кон-
цевых усилий j-го элемента на перемещениях, имеющих место в
i-м состоянии (рис. 22.2,б) перепишется:
.
hxjxhyjyjh
j
h
h
j
jj
RR
Q
MMA ΔΔΔ
θθ
−
−+
+
= (22.10)
Для всех элементов заданного сооружения работа концевых
усилий суммируется
),()(
hxjxhy
g
1h
jyjh
j
h
h
j
m
1j
j
m
1j
j
RR
Q
MMA ΔΔ
∑
Δ
θθ
∑∑
+−++=
===
(22.11)
причем составляющие R
jy
и R
jx
равнодействующей нагрузки,
приложенной к j-му элементу, работу совершают на линейных
перемещениях узла h (Δ
hy
и Δ
hx
), происходящих в i-м состоянии
(рис. 22.2,в). Как видно из рис. 22.2,а, узел h расположен в сторо-
не, противоположной концевому сечению j, т.е. сечению, в кото-
ром зафиксирована концевая поперечная сила Q
j
.
Работа узловых сил, действующих на отдельный узел h
(рис. 22.2,б), на перемещениях этого узла, совпадающих с пере-
мещениями концевого сечения h j-го элемента в i-м состоянии,
будет равна:
.
hxhxhyhy
h
h
h,ext
RRM
W
Δ
Δ
θ
′
++
=
(22.12)
Для всех узлов стержневой системы выражение (22.12) сум-
мируется от h до g
).(
hxhxhyhy
h
g
1h
h
g
1h
h,ext
RRM
W
ΔΔ
θ
∑
′
∑
++=
==
(22.13)
Подставив соотношения (22.11) и (22.13) в формулу (22.5),
окончательно получим математическую формулировку теоремы о
работе концевых усилий для плоских стержневых систем:
].)()([
)(
hxhxjxhyhyjy
h
h
g
1h
jh
j
h
h
j
m
1j
jin
RRRRM
Q
MMR
ΔΔ
θ
′
∑
Δ
θθ
∑
++++−
−++=
=
=
(22.14)
В матричной форме выражение (22.14) перепишется:
.
F
cSa
R
k
т
k
т
k
′
−= (22.15)
Поясним смысл матриц, входящих в соотношение (22.15):
R
k
– матрица искомых реакций в связях стержневой системы,
находящейся в k-м равновесном состоянии при любых заданных
внешних воздействиях (силовых, температурных, кинематиче-
ских);
S
k
– матрица концевых усилий элементов сооружения (изги-
бающих моментов M
j
и M
h
и поперечных сил Q
j
), возникающих в
k-м состоянии от заданных внешних воздействий;
F
k
′
– матрица нагрузок (сосредоточенных моментов
M
h
′
и
сосредоточенных сил (R
jy
+ R
hy
), (R
jx
+ R
hx
)), действующих на уз-
лы сооружения в k-м равновесном состоянии;
a – матрица концевых перемещений элементов стержневой
системы (углов поворота концевых сечений θ
j
и θ
h
отдельных
стержней и их перекосов Δ
jh
) от единичного смещения связей, в
которых определяются реакции от заданных внешних воздейст-
вий;
с – матрица угловых θ
h
и линейных перемещений Δ
hy
и Δ
hx
узлов от единичного смещения связей, где определяются реакции
в k-м равновесном состоянии сооружения.
Число столбцов в матрицах R
k
, S
k
и
F
k
′
равно числу вариан-
тов внешних воздействий, а в матрицах
a и с – числу связей, в ко-
торых определяются реакции от заданных воздействий. Число
строк в матрице R
k
соответствует числу связей, где необходимо
определить реакции в k-м равновесном состоянии сооружения.
Вернемся к соотношению (22.5) и вычислим его правую Подставив соотношения (22.11) и (22.13) в формулу (22.5), часть для плоских стержневых систем. окончательно получим математическую формулировку теоремы о Для отдельного j-го элемента имеем: работе концевых усилий для плоских стержневых систем: A j = M j θ j + M h θh + Q j Δ jy + Qh Δ hy + N j Δ jx + Nh Δ hx = m R in = ∑ (M j θ j + M h θh + Q j Δ jh ) − = M j θ j + M h θh + Q j Δ jy + Q j Δ hy − Q j Δ hy + Qh Δ hy + j=1 (22.14) g + N j Δ jx + N j Δ hx − N j Δ hx + N h Δ hx = − ∑ [ M ′h θh + (R jy + R hy) Δ hy + (R jx + R hx ) Δ hx ]. h =1 = M j θ j + M h θh + Q j (Δ jy + Δ hy) − (Q j − Qh ) Δ hy + В матричной форме выражение (22.14) перепишется: т т + N j (Δ jx + Δ hx ) − ( N j − N h ) Δ hx . R k = a Sk − c F′k . (22.15) С учетом соотношений (22.6)–(22.8) возможная работа кон- Поясним смысл матриц, входящих в соотношение (22.15): цевых усилий j-го элемента на перемещениях, имеющих место в Rk – матрица искомых реакций в связях стержневой системы, i-м состоянии (рис. 22.2,б) перепишется: находящейся в k-м равновесном состоянии при любых заданных A j = M j θ j + M h θh + Q j Δ jh − R jy Δ hy − R jx Δ hx . (22.10) внешних воздействиях (силовых, температурных, кинематиче- ских); Для всех элементов заданного сооружения работа концевых Sk – матрица концевых усилий элементов сооружения (изги- усилий суммируется бающих моментов Mj и Mh и поперечных сил Qj), возникающих в m m g k-м состоянии от заданных внешних воздействий; ∑ A j = ∑ (M j θ j + M h θh + Q j Δ jh ) − ∑ (R jy Δ hy + R jx Δ hx ), (22.11) j=1 j=1 h =1 F′k – матрица нагрузок (сосредоточенных моментов M ′h и причем составляющие Rjy и Rjx равнодействующей нагрузки, сосредоточенных сил (Rjy + Rhy), (Rjx + Rhx)), действующих на уз- приложенной к j-му элементу, работу совершают на линейных лы сооружения в k-м равновесном состоянии; перемещениях узла h (Δhy и Δhx), происходящих в i-м состоянии a – матрица концевых перемещений элементов стержневой (рис. 22.2,в). Как видно из рис. 22.2,а, узел h расположен в сторо- системы (углов поворота концевых сечений θj и θh отдельных не, противоположной концевому сечению j, т.е. сечению, в кото- стержней и их перекосов Δjh) от единичного смещения связей, в ром зафиксирована концевая поперечная сила Qj. которых определяются реакции от заданных внешних воздейст- Работа узловых сил, действующих на отдельный узел h вий; (рис. 22.2,б), на перемещениях этого узла, совпадающих с пере- с – матрица угловых θh и линейных перемещений Δhy и Δhx мещениями концевого сечения h j-го элемента в i-м состоянии, узлов от единичного смещения связей, где определяются реакции будет равна: в k-м равновесном состоянии сооружения. W ext ,h = M ′h θh + R hy Δ hy + R hx Δ hx . (22.12) Число столбцов в матрицах Rk, Sk и F′k равно числу вариан- Для всех узлов стержневой системы выражение (22.12) сум- тов внешних воздействий, а в матрицах a и с – числу связей, в ко- мируется от h до g торых определяются реакции от заданных воздействий. Число g g строк в матрице Rk соответствует числу связей, где необходимо ∑ W ext ,h = ∑ (M ′h θh + R hy Δ hy + R hx Δ hx ). (22.13) определить реакции в k-м равновесном состоянии сооружения. h =1 h =1 75 76
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »