Составители:
Рубрика:
79 80
новесном состоянии узловые силы отсутствуют. Введя другие
обозначения (r вместо R и
S вместо
S
~
), получим:
.Sar
т
= (22.17)
В матричной зависимости (22.17)
S– матрица концевых
усилий стержней сооружения в основной системе метода пере-
мещений от смещения наложенных на узлы связей на величину,
равную единице. Эту матрицу можно представить в виде произ-
ведения
KaS = , (22.18)
где K – матрица концевых усилий стержней от единичных пере-
мещений их концевых сечений в основной системе метода пере-
мещений. Так как в основной системе метода перемещений мы
имеем набор ограниченного количества стандартных стержней,
элементы матрицы K для каждого стержня из этого набора могут
быть получены заранее. Матрица K для всего сооружения запи-
шется
.K
K
K
K
K
n
j
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
O
O
(22.19)
В матрице (22.19) блок К
j
– это стандартная матрица внут-
ренней жесткости j-го стержня.
После подстановки соотношения (22.18) в матричную зави-
симость (22.17) получим
.Kaar
т
= (22.20)
Квазидиагональная матрица K называется матрицей внут-
ренней жесткости сооружения.
22.3. Стандартные матрицы внутренней жесткости
элементов сооружений
Рассмотрим подробно формирование матрицы K, т.е. матри-
цы концевых усилий, вызванных единичными перемещениями
концевых сечений, для стержня, защемленного с одного конца и
шарнирно опертого – с другого (рис. 22.3,а). В соответствии с
теоремой о работе концевых усилий для любого стержня необхо-
димо фиксировать оба концевых изгибающих моментов и в од-
ном из
концов (по выбору) концевую поперечную силу. Так как
для рассматриваемого стержня изгибающий момент в сечении
около шарнирной опоры равен нулю, то можно ограничиться вы-
числением только двух концевых усилий: концевого изгибающе-
го момента и концевой поперечной силы в сечении 1. Условимся
вычисление этих концевых усилий производить сначала от поло-
жительного поворота
угловой связи заделки на величину, равную
единице (первое воздействие – рис. 22.3,б), затем – от положи-
тельного единичного перекоса стержня (второе воздействие –
рис. 22.3,в). Для вычисления концевых усилий от рассматривае-
мых воздействий используем стандартные задачи метода пере-
мещений, приведенные на рис. 19.9 и 19.10 при θ = 1 и Δ = 1
(рис. 22.3,б,в).
С учетом установленного
порядка фиксации концевых уси-
лий и единичных концевых перемещений стандартная матрица
внутренней жесткости для рассматриваемого стержня запишется:
.
i3i3
i3
i3
K
2
)2(
1
)1(
1
)2(
1
)1(
1
QQ
MM
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
l
l
l
Если концевую поперечную силу, как и прежде, фиксировать
во вторую очередь, но теперь уже в сечении 2 (рис. 22.3,г), то вид
матрицы внутренней жесткостей для рассматриваемого стержня
не изменится
.
i3i3
i3
i3
K
2
)2(
2
)1(
2
)2(
1
)1(
1
QQ
MM
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
l
l
l
новесном состоянии узловые силы отсутствуют. Введя другие 22.3. Стандартные матрицы внутренней жесткости
~ элементов сооружений
обозначения (r вместо R и S вместо S ), получим:
т
r = a S. (22.17) Рассмотрим подробно формирование матрицы K, т.е. матри-
цы концевых усилий, вызванных единичными перемещениями
В матричной зависимости (22.17) S – матрица концевых концевых сечений, для стержня, защемленного с одного конца и
усилий стержней сооружения в основной системе метода пере- шарнирно опертого – с другого (рис. 22.3,а). В соответствии с
мещений от смещения наложенных на узлы связей на величину, теоремой о работе концевых усилий для любого стержня необхо-
равную единице. Эту матрицу можно представить в виде произ- димо фиксировать оба концевых изгибающих моментов и в од-
ведения ном из концов (по выбору) концевую поперечную силу. Так как
S = Ka , (22.18) для рассматриваемого стержня изгибающий момент в сечении
где K – матрица концевых усилий стержней от единичных пере- около шарнирной опоры равен нулю, то можно ограничиться вы-
мещений их концевых сечений в основной системе метода пере- числением только двух концевых усилий: концевого изгибающе-
мещений. Так как в основной системе метода перемещений мы го момента и концевой поперечной силы в сечении 1. Условимся
имеем набор ограниченного количества стандартных стержней, вычисление этих концевых усилий производить сначала от поло-
элементы матрицы K для каждого стержня из этого набора могут жительного поворота угловой связи заделки на величину, равную
быть получены заранее. Матрица K для всего сооружения запи- единице (первое воздействие – рис. 22.3,б), затем – от положи-
тельного единичного перекоса стержня (второе воздействие –
шется
рис. 22.3,в). Для вычисления концевых усилий от рассматривае-
⎡K1 ⎤ мых воздействий используем стандартные задачи метода пере-
⎢ ⎥ мещений, приведенные на рис. 19.9 и 19.10 при θ = 1 и Δ = 1
⎢ K2 ⎥
⎢ O ⎥ (рис. 22.3,б,в).
K=⎢ ⎥. (22.19) С учетом установленного порядка фиксации концевых уси-
⎢ Kj ⎥ лий и единичных концевых перемещений стандартная матрица
⎢ O ⎥ внутренней жесткости для рассматриваемого стержня запишется:
⎢ ⎥
⎢⎣ K n ⎥⎦ ⎡ 3i ⎤
⎡M1(1) M1( 2) ⎤ ⎢ 3i − l ⎥
В матрице (22.19) блок Кj – это стандартная матрица внут- K = ⎢ (1) ⎥=⎢ ⎥.
Q1 ⎥⎦ ⎢− 3i 3i2 ⎥
( 2)
ренней жесткости j-го стержня. ⎢⎣ Q1
После подстановки соотношения (22.18) в матричную зави- ⎢⎣ l l ⎥⎦
симость (22.17) получим Если концевую поперечную силу, как и прежде, фиксировать
т во вторую очередь, но теперь уже в сечении 2 (рис. 22.3,г), то вид
r = a Ka. (22.20) матрицы внутренней жесткостей для рассматриваемого стержня
Квазидиагональная матрица K называется матрицей внут- не изменится
ренней жесткости сооружения.
⎡ 3i ⎤
⎡M1(1) M1( 2) ⎤ ⎢ 3i − ⎥
l
K=⎢ ⎥=⎢
3i 3i ⎥.
⎢Q (1)
Q
( 2 ) ⎥ ⎢− ⎥
⎣ 2 2 ⎦ 2
⎣⎢ l l ⎦⎥
79 80
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
