Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 4: Статически неопределимые системы. Метод перемещений. Крамаренко А.А - 43 стр.

     22.4. Матричная форма расчета статически                     женных связях от заданных внешних воздействий в основной
          неопределимых систем методом перемещений                системе метода перемещений.
     Систему канонических уравнений метода перемещений                                      ⎡R1(1) R1( 2) L R1( p ) ⎤
(19.6) представим в матричной форме:                                                        ⎢ (1)      ( 2)     (p)⎥
                           rZ + R = 0.                 (22.21)                              ⎢R 2 R 2 K R 2 ⎥
     r – матрица коэффициентов при неизвестных системы кано-                                ⎢ M       M      M M ⎥
нических уравнений (22.21), или матрица реакций в наложенных                            R = ⎢ (1)      ( 2)     (p)
                                                                                                                       ⎥.
связях от их смещения на величину, равную единице, в основной                               ⎢R i     Ri K Ri ⎥
                                                                                            ⎢ M       M      M M ⎥
системе метода перемещений. Эта матрица называется матрицей                                 ⎢                          ⎥
внешней жесткости сооружения.                                                               ⎢⎣R (n1) R (n2) K R (np ) ⎥⎦
                        ⎡ r11 r12 K r1 j K r1n ⎤                       Число строк в матрицах Z и R равно степени кинематической
                        ⎢             K r 2 j K r 2n ⎥            неопределимости сооружения, а число столбцов – суммарному
                        ⎢r 21 r 22                        ⎥       числу заданных независимых силовых, температурных и кинема-
                    r = ⎢ K K K K K K ⎥.                          тических воздействий на сооружение.
                        ⎢ ri1 ri 2 K rij K r in ⎥
                        ⎢K K K K K K ⎥                                 В п. 22.2 настоящей лекции на базе теоремы о работе конце-
                        ⎢                                 ⎥       вых усилий были получены матричные соотношения (22.16) и
                        ⎣ r n1 r n 2 K r nj K r nn ⎦              (22.20) для вычисления элементов матриц r и R. Напомним их:
     Число строк и столбцов матрицы внешней жесткости соору-                                         т~     т
жения равно степени его кинематической неопределимости nkin,                                   R = a S − a F′.
                                                                                                        т
т.е. матрица r – квадратная матрица. В силу теоремы о взаимно-                                    r = a Ka.
сти реакций матрица r симметрична. Так как система уравнений           Смысл элементов матриц, включенных в формулы (22.16) и
(22.21) разрешима, то определитель матрицы r не равен нулю (det   (22.20) подробно изложен в п. 22.2 и 22.3 двадцать второй лекции.
r ≠ 0). Это значит, что матрица внешней жесткости является не-         Решая систему уравнений (22.21), получим матрицу неиз-
вырожденной матрицей.                                             вестных метода перемещений:
     Z – матрица неизвестных метода перемещений, или матрица                                        −1
угловых и линейных перемещений узлов сооружения от задан-                                    Z = − r R.                        (22.22)
                                                                        −1
ных внешних воздействий (силовых, температурных, кинемати-             r – матрица, обратная по отношению к матрице внешней
ческих).                                                          жесткости сооружения.
                              ⎡ Z1(1) Z1( 2) L Z1( p ) ⎤                                               −1
                              ⎢ (1)                                                              r⋅r        = E,
                                        ( 2)     (p)⎥
                              ⎢ Z2 Z2 K Z2 ⎥                      где E – единичная матрица.
                              ⎢ M      M     M  M ⎥                    После подстановки соотношений (22.16) и (22.20) в матрич-
                       Z = ⎢ (1)        ( 2)     (p)
                                                       ⎥.         ное выражение (22.22) получим:
                              ⎢ Zi    Zi K Zi ⎥                                              т    −1 т ~   т
                              ⎢ M      M     M  M ⎥                                   Z = −(a Ka ) (a S − c F′).          (22.23)
                              ⎢                        ⎥
                                  (1)   ( 2)     (p)                   Используем принцип независимости действия сил для опре-
                              ⎣⎢ Zn Zn K Zn ⎦⎥                    деления концевых усилий в элементах заданного сооружения при
    R – матрица свободных членов системы канонических урав-       силовых, температурных и кинематических воздействиях:
нений метода перемещений (22.21), или матрица реакций в нало-

                              83                                                                        84