Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 4: Статически неопределимые системы. Метод перемещений. Крамаренко А.А - 44 стр.

                                                 ~ ~ ~
   S1 = s11Z1 + s12 Z2 + K+ s1j Zj + K+ s1n Zn + S1F + S1t + S1c,                                             Ранее было показано, что матрица S выражается через мат-
                                                                                                          рицу внутренней жесткости сооружения K и матрицу перемеще-
   ..........................................................................................
                                                                                                          ний концевых сечений стержней в основной системе от единич-
                                                  ~ ~ ~
   Sk = sk1 Z1 + sk2 Z2 + K+ skj Zj + K+ skn Zn + SkF + Skt + Skc,                              (22.24)   ных смещений наложенных связей a (см. п. 22.2) следующим об-
                                                                                                          разом:
   ..........................................................................................
                                                 ~ ~ ~                                                                                       S = Ka .
   Sm = sm1 Z1 + sm2 Z2 + K+ smjZj + K+ smn Zn + SmF + Smt + Smc.                                             После подстановки матричных выражений (22.18) и (22.23) в
     m – число концевых усилий (концевых изгибающих момен-                                                матричную формулу (22.25) получим матричное соотношение
тов и концевых поперечных сил), определяемых при решении                                                  для расчета стержневых систем методом перемещений
конкретной задачи.                                                                                                                 ~         т     −1 т ~     т
                                                                                                                               S = S − Ka (a Ka ) (a S − c F′).     (22.26)
     Группа соотношений (22.24) в матричной форме перепишется:
                                        ~                                                                     При силовом воздействии на сооружение, когда S = SF,
                              S = S Z + S.               (22.25)                                          ~ ~
     S – матрица концевых усилий элементов заданного сооруже-                                             S = SF , F′ = F , структура матричной зависимости (22.26) сохра-
ния от внешних силовых, температурных и кинематических воз-                                               няется:
действий.                                                                                                                       ~          т     −1 т ~      т
                                                                                                                           SF = SF − Ka (a Ka ) (a SF − c F).       (22.27)
                             S = [SF St Sc ].                                                                                                                   ~ ~
                    ~                                                                                         В случае температурного воздействия S = St, S = St , F′ = 0 и,
     Напомним, что S – это матрица концевых усилий элементов
                                                                                                          следовательно,
сооружения в основной системе метода перемещений от внешних                                                                          ~         т     −1 т ~
силовых, температурных и кинематических воздействий, а мат-                                                                     St = St − Ka (a Ka ) (a St ).       (22.28)
рица S – матрица концевых усилий в основной системе метода                                                    При кинематическом воздействии, в частности, при смеще-
перемещений от единичных смещений наложенных связей (см.                                                  нии опорных связей, матричная зависимость для определения
п. 22.2).                                                                                                 концевых усилий в стержнях заданного сооружения аналогична
                              ⎡~      ~    ~
                                S1F S1t S1c ⎤                                                             матричной зависимости (22.28):
                              ⎢                                                                                                      ~                −1 т ~
                                       K K⎥
                                                                                                                                               т
                          ~ ⎢ ~K ~                                                                                             Sc = Sc − Ka (a Ka ) (a Sc ).        (22.29)
                          S = ⎢ SkF Skt ~      ⎥
                                           Skc ⎥,                                                             Проверка правильности расчета заданного сооружения мето-
                              ⎢~K ~K ~K ⎥                                                                 дом перемещений производится на основе теоремы о работе кон-
                              ⎢⎣SmF Smt Smc⎥⎦                                                             цевых усилий. Подставив значения концевых усилий S, вычис-
                       ⎡ s11 s12 K s1 j K s1n ⎤                                                           ленных по формуле (22.26), в матричное выражение (22.15), мы
                       ⎢K K K K K K ⎥                                                                     должны получить нулевые значения реакций в несуществующих
                  S = ⎢⎢ sk1 sk 2 K skj K skn ⎥⎥.                                                         в заданном сооружении наложенных связях. Таким образом, в
                                                                                                          общем случае внешних воздействий имеем:
                       ⎢K K K K K K ⎥                                                                                             т     т
                       ⎢⎣sm1 sm 2 K smj K smn ⎥⎦                                                                                 a S − c F′ = 0.              (22.30)
                                                                                                              Матричное соотношение (22.30) при силовых воздействиях
                                                                                                          перепишется:
                                                          85                                                                                86