Плоская задача теории упругости или исследование напряженного состояния в точке. Изгиб прямоугольной или круглой пластины. Кращук А.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

23
.3,2,1i,
3
I
y
1
ii
=+=σ (4.2)
);МПа(3,783403,743
);МПа(47,781
3
120
47,821
2
1
−=−−=σ
=−=σ
).МПа(16,1184018,78
3
=−−=σ
Так как главные напряжения располагаются в порядке
321
σ>σ>σ , то окончательно имеем:
).МПа(3,783);МПа(16,118);МПа(47,781
321
−
=
σ
−
=
σ=σ
Проверка значений главных напряжений.
).МПа(104,72)3,783()16,118(47,781I
);МПа(1020,6147,781)3,783()3,783)(16,118(
)16,118(47,781I
);МПа(1203,78316,11847,781I
36
3213
24
1332212
3211
⋅=−⋅−⋅=σσσ=
⋅−=⋅−+−−+
+−=σ⋅σ+σ⋅σ+σ⋅σ=
−
=
−
−
=σ+σ
+
σ=
3. Положение главных площадок определяется значениями
направляющих косинусов для их нормалей. По формулам (4.3)
находим соотношения между направляющими косинусами:
;
))((
))((
n
xy
2
iyix
yzxyxziy
i
i
τ−σ−σσ−σ
τ⋅τ+τ−σ−σ
=
l
(4.3)
.3,2,1i,
))((
))((
n
m
xy
2
iyix
xzyxyzix
i
i
=
τ−σ−σσ−σ
τ
⋅
τ
+
τ
−σ−σ
=
Из уравнения (4.4) определяем
i
n, зная значения соотно-
шений (4.3), подсчитываем
ii
m,l :
2
i
2
i
2
i
n/1)n/m()n/( =+l (4.4)
Например, определим положение главной площадки с на-
пряжением
1
σ . В выражениях (4.3) заменяем
i
σ
на
1
σ
: 
                I1
     σi = yi +     , i = 1, 2, 3.                                       (4.2)
                3
                    120
     σ 1 = 821,47 −      = 781,47 ( МПа );
                     3
     σ 2 = −743,3 − 40 = −783,3 ( МПа );
      σ 3 = −78,18 − 40 = 118,16 ( МПа ).
     Так как главные напряжения располагаются в порядке
σ1 > σ 2 > σ 3 , то окончательно имеем:
σ1 = 781,47 (МПа ); σ 2 = −118,16 (МПа ); σ 3 = −783,3 (МПа ).
     Проверка значений главных напряжений.
I 1 = σ1 + σ 2 + σ 3 = 781,47 − 118,16 − 783,3 = −120 ( МПа );
I 2 = σ 1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ 3 + σ 3 ⋅ σ 1 = 781,47( −118,16) +
+ ( −118,16)( −783,3) + ( −783,3) ⋅ 781,47 = −61,20 ⋅ 10 4 ( МПа 2 );
I 3 = σ1 σ 2 σ 3 = 781,47 ⋅ ( −118,16) ⋅ ( −783,3) = 72,4 ⋅ 10 6 ( МПа 3 ).
     3. Положение главных площадок определяется значениями
направляющих косинусов для их нормалей. По формулам (4.3)
находим соотношения между направляющими косинусами:
      l i (σ y − σ i )(− τ xz ) + τ xy ⋅ τ yz
         =                                    ;
      n i (σ x − σ i )(σ y − σ i ) − τ 2 xy
                                                                        (4.3)
     mi     (σ x − σ i )(− τ yz ) + τ yx ⋅ τ xz
        =                                   , i = 1, 2, 3.
     ni   (σ x − σ i )(σ y − σ i ) − τ 2 xy
   Из уравнения (4.4) определяем n i , зная значения соотно-
шений (4.3), подсчитываем l i , m i :
    (l / n ) i 2 + ( m / n ) i 2 = 1 / n i 2           (4.4)
    Например, определим положение главной площадки с на-
пряжением σ1 . В выражениях (4.3) заменяем σ i на σ1 :



                                        23

Страницы