Плоская задача теории упругости или исследование напряженного состояния в точке. Изгиб прямоугольной или круглой пластины. Кращук А.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

27
.
м
мкН
;
x
W
y
W
DM;
y
W
x
W
DM
2
2
2
2
y
2
2
2
2
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
ν+
∂
∂
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
ν+
∂
∂
−=
(5.5)
b) интенсивность поперечных сил:
.
м
кН
;
xy
W
y
W
DQ;
yx
W
x
W
DQ
2
3
3
3
y
2
3
3
3
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
+
∂
∂
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
+
∂
∂
−=
(5.6)
с) интенсивность крутящего момента:
.
м
мкН
;
yx
W
)1(DH
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
∂∂
∂
ν−−= (5.7)
При решении уравнения (5.4) постоянные интегрирования
находим из граничных условий. Граничные условия – это ана-
литические выражения для кинематических и статических па-
раметров в краевых точках. Различают такие группы граничных
условий:
1. Кинематическая – известны прогибы и углы поворота се-
чений:
а) сечение с нормалью x:
.
x
W
,W
x
∂
∂
=α
b) сечение с нормалью y:
.
y
W
,W
y
∂
∂
=α
2. Статическая – известны внутренние силы:
а) сечение с нормалью x: .H,QM
x,x
b) сечение с нормалью y: .H,Q,M
yy
3. Смешанная – известны часть перемещений и внутренних
сил.
На рис. (5.2) показана срединная плоскость пластины с ус-
ловиями закрепления и действующей нагрузкой. Запишем гра-
ничные условия для всех её краев:
1. При
,0)
y
W
x
W
(DM;0W,0x
2
2
2
2
x
=
∂
∂
ν+
∂
∂
−=== (5.8)
(смешанная группа). 
          ⎛ ∂2W        ∂ 2 W ⎞⎟            ⎛ ∂2W        ∂ 2 W ⎞⎟ ⎛ кН ⋅ м ⎞
M x = − D⎜        +  ν         ; M   = − D ⎜       +  ν         ;⎜        ⎟.
          ⎜ ∂x 2        ∂y 2 ⎟⎠
                                   y       ⎜ ∂y 2       ∂x 2 ⎟⎠ ⎝ м ⎠
          ⎝                                ⎝
                                                                         (5.5)
    b) интенсивность поперечных сил:
         ⎛ ∂ 3W ∂ 3W ⎞                   ⎛ 3          3     ⎞
Q x = − D⎜       +          ⎟; Q y = − D⎜ ∂ W + ∂ W ⎟; ⎛⎜ кН ⎞⎟. (5.6)
         ⎜ ∂x 3 ∂x∂y 2 ⎟                 ⎜ ∂y 3 ∂y∂x 2 ⎟ ⎝ м ⎠
         ⎝                  ⎠            ⎝                  ⎠
    с) интенсивность крутящего момента:
                     ∂ 2 W ⎛ кН ⋅ м ⎞
     H = − D(1 − ν )        ;⎜        ⎟.                                 (5.7)
                     ∂x∂y ⎝ м ⎠
    При решении уравнения (5.4) постоянные интегрирования
находим из граничных условий. Граничные условия – это ана-
литические выражения для кинематических и статических па-
раметров в краевых точках. Различают такие группы граничных
условий:
    1. Кинематическая – известны прогибы и углы поворота се-
чений:
                                               ∂W
    а) сечение с нормалью x : W, α x =              .
                                                ∂x
                                               ∂W
    b) сечение с нормалью y : W, α y =              .
                                                ∂y
    2. Статическая – известны внутренние силы:
    а) сечение с нормалью x : M x , Q x , H.
       b) сечение с нормалью y : M y , Q y , H.
       3. Смешанная – известны часть перемещений и внутренних
сил.
    На рис. (5.2) показана срединная плоскость пластины с ус-
ловиями закрепления и действующей нагрузкой. Запишем гра-
ничные условия для всех её краев:
                                   ∂2W    ∂2W
    1. При x = 0, W = 0; M x = − D( 2 + ν     2
                                                ) = 0,  (5.8)
                                   ∂x      ∂y
(смешанная группа).
                                     27

Страницы