Плоская задача теории упругости или исследование напряженного состояния в точке. Изгиб прямоугольной или круглой пластины. Кращук А.А. - 8 стр.

     τ xy = τ yx ; τ yz = τ zy ; τ zx = τ xz .                (2.3)
    С учетом формул (2.3) в уравнениях (2.1) и (2.2) будет
шесть неизвестных напряжений: σ x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ zx .
Следовательно, напряженное состояние в точке пространствен-
ной задачи описывается шестью напряжениями.
    При решении задач уравнения (2.1) и (2.2) всегда применя-
ют вместе.
    Так как три уравнения равновесия имеют шесть неизвест-
ных напряжений, то задача их нахождения будет статически не-
определимой. Для решения нужны уравнения, описывающие
изменение геометрии тела.

    2.2. Геометрические уравнения
    1. Уравнения Коши:
         ∂U        ∂V        ∂W
    εx =    ; εy =    ; εz =     ;
         ∂x        ∂y         ∂z
                                                           (2.4)
            ∂U ∂V              ∂V ∂W             ∂W ∂U
    γ xy =     +     ; γ yz =      +    ; γ zx =    +    .
            ∂y ∂x               ∂z   ∂y          ∂x   ∂z
    Они объединяют три неизвестных перемещения точки с
шестью неизвестными деформациями в точке, т.е. имеют девять
неизвестных.
    2. Уравнения неразрывности деформаций (уравнения Сен-
Венана):
               2        2
     ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy
            +      =          ;
      ∂y 2    ∂x 2     ∂x∂y
     ∂ 2ε y       ∂ 2ε z       ∂ 2 γ yz
              +            =              ;
      ∂z 2         ∂y 2         ∂y∂z
     ∂ 2ε z       ∂ 2ε x       ∂ 2 γ zx
              +            =            ;                     (2.5)
     ∂x 2         ∂z 2          ∂z∂x


                                              8