Математическая статистика. Крашенинников В.Р - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

- 10 -
вероятностей случайной величины Х. Точность приближения возрастает с
ростом объёма выборки и количества частичных интервалов.
Таким образом, по виду гистограммы можно составить представление о
плотности распределения вероятностей
f
x
(x) и сделать предположение о типе
распределения. Проверка таких предположений будет рассмотрена ниже. В
приложении 1 приведены некоторые законы распределения случайных величин
и типичные гистограммы, получающиеся при этих распределениях.
1.4. Оценки математического ожидания и дисперсии.
Важнейшими числовыми характеристиками случайной величины Х
являются её
математическое ожидание m
x
=M[x] и дисперсия σ
2
x
=D[x] =
M[(X – m
x
)
2
] = M[x
2
] –
2
x
m . Число m
x
является средним значением случайной
величины, около которого разбросаны значения величин
Х, мерой этого
разброса являются дисперсия
D[x] и среднеквадратическое отклонение:
σ
x
=
D[x]
(1.11)
Мы будем в дальнейшем рассмотривать важную задачу для исследования
наблюдаемой случайной величины. Пусть имеется некоторая выборка (будем
обозначать её
S) случайной величины Х. Требуется по имеющейся выборке
оценить неизвестные значения
m
x
и
2
x
σ
.
Теория оценок различных параметров занимает в математической
статистике значительное место. Поэтому рассмотрим сначала общую задачу.
Пусть требуется оценить некоторый параметр
α по выборке S. Каждая такая
оценка
α* является некоторой функцией α*=α*(S) от значений выборки.
Значения выборки случайны, поэтому и сама оценка
α* является случайной
величиной. Можно построить множество различных оценок (то есть функций)
α*, но при этом желательно иметь «хорошую» или даже «наилучшую», в
некотором смысле, оценку. К оценкам обычно предъявляются следующие три
естественных требования.
1. Несмещённость. Математическое ожидание оценки α* должно
равняться точному значению параметра:
M[α*] = α. Другими
словами, оценка
α* не должна иметь систематической ошибки.
2. Состоятельность. При бесконечном увеличении объёма выборки,
оценка
α* должна сходиться к точному значению, то есть при
увеличении числа наблюдений ошибка оценки стремится к нулю.
3. Эффективность. Оценка α* называется эффективной, если она не
смещена и имеет минимально возможную дисперсию ошибки. В этом
случае минимален разброс оценки
α* относительно точного значения
и оценка в определённом смысле является «самой точной».
К сожалению, не всегда удаётся построить оценку, удовлетворяющую
всем трём требованиям одновременно.
Для оценки математического ожидания чаще всего применяется оценка.

Страницы