Математическая статистика. Крашенинников В.Р - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

- 13 -
Рассмотрим метод построения доверительного интервала для
математического ожидания случайной величины
Х, основанный на
центральной предельной теореме.
Пусть случайная величина
Х имеет неизвестное математическое
ожидание
m
x
и известную дисперсию
2
x
σ . Тогда, в силу центральной
предельной теоремы, среднее арифметическое:
x
m
∗
=
n
i
i=1
1
x
n
∑
, (1.17)
результатов
n независимых испытаний величины Х является случайной
величиной, распределение которой при больших
n, близко к нормальному
распределению со средним
m
x
и среднеквадратическим отклонением
x
s σ n=
. Поэтому случайная величина
(
)
xx
tmms
∗
=− (1.18)
имеет распределение вероятностей, которое можно считать
стандартным
нормальным
с плотностью распределения ϕ(t), график которой изображён на
рис.1.7 (а также на рис.п.1.4, приложение 1).
Рис.1.7. Плотность распределения вероятностей случайной величины
t .
Пусть задана доверительная вероятность
β и t
β
- число, удовлетворяющее
уравнению
β = Ф
0
(t
β
) – Ф
0
(-t
β
) = 2 Ф
0
(t
β
), (1.19)
где
() ()
t
0
0
Φ t= φ tdt
∫
- функция Лапласа. Тогда вероятность попадания в
интервал (-t
β
, t
β
) будет равна заштрихованной на рис.1.7. площади, и, в силу
выражения (1.19), равна
β. Следовательно
β = P(-t
β
<
xx
mm
s
∗
−
< t
β
) = P(
x
m
∗
– t
β
S
< m
x
<
x
m
∗
+ t
β
S
) =
t’
β
-t
β
t”
β
t
β
t
ϕ
(t)

Страницы