Математическая статистика. Крашенинников В.Р - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

- 14 -
= P(
x
m
∗
– t
β
x
σ
n
< m
x
<
x
m
∗
+ t
β
x
σ
n
) . (1.20)
Таким образом, в качестве доверительного интервала можно взять
интервал
I
β
= (
x
m
∗
– t
β
x
σ
n
;
x
m
∗
+ t
β
x
σ
n
), (1.21)
так как выражение (1.20) означает, что неизвестное точное значение
m
x
находится в Ι
β
с заданной доверительной вероятностью β. Для построения Ι
β
нужно по заданному
β найти t
β
из уравнения (1.19). Приведём несколько
значений
t
β
, необходимых в дальнейшем [3 , 5]:
t
0,9
= 1,645; t
0,95
= 1,96; t
0,99
= 2,58; t
0,999
= 3,3.
При выводе выражения (1.21) предполагалось, что известно точное
значение среднеквадратического отклонения
σ
х
. Однако оно известно далеко не
всегда. Воспользуемся поэтому его оценкой (1.15) и получим:
I
β
= (
x
m
∗
– t
β
x
σ
n
∗
;
x
m
∗
+ t
β
x
σ
n
∗
). (1.22)
Соответственно, оценки
x
m
∗
и
x
σ
∗
, полученные по группированной
выборке, дают следующую формулу для доверительного интервала:
I
β
= (
#
x
m – t
β
#
x
σ
n
;
#
x
m + t
β
#
x
σ
n
). (1.23)
Отметим, что формула (1.22) имеет две погрешности. Первая связана с
тем, что распределение величины
t лишь приближённо равно ϕ(t), но с ростом
объёма выборки
n точность приближения улучшается. Вторая погрешность
обусловлена использованием
x
σ
∗
вместо неизвестного точного значения σ
х
. При
большом объёме выборки и эта погрешность несущественна. Формула (1.23)
использует группированную, то есть огрубленную выборку, поэтому и даёт
результат, остающийся огрублённым и при бесконечном росте объёма выборки.
Следует отметить также, что можно построить сколько угодно
доверительных интервалов для заданного
β. Действительно, пусть t’
β
и
t”
β
удовлетворяет условию β = Ф
0
(t”
β
) - Ф
0
(t’
β
), тогда интервал
I
β
= (
x
m
∗
+ t’
β
х
σ
n
;
x
m
∗
+ t”
β
x
σ
n
),

Страницы