Математическая статистика. Крашенинников В.Р - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

- 15 -
также с вероятностью β содержит m
x
(рис.1.7.). Например, можно взять t’
0,9
= -
4
и t”
0,9
= 1,282. Но в этом случае длина полученного интервала увеличится
примерно в
1,6 раза. Формула (1.21) используется потому, что она даёт
кратчайший доверительный интервал.
Аналогичным образом могут быть найдены интервальные оценки других
параметров, например, дисперсии [1, 5].
1.6. Теоретический закон распределения. Метод моментов.
При исследовании случайной величины Х по результатам её испытаний
часто требуется найти закон её распределения. Тип распределения можно
угадать по виду гистограммы или полигона. Будем называть выбранное нами
распределение
теоретическим. Каждое теоретическое распределение содержит
один или более параметров
α
1
, α
2
, … , α
S
, которым должны быть присвоены
некоторые значения. Например, экспоненциальное распределение с плотностью
вероятностей
f(x) = λexp(-λx) содержит один параметр λ, а нормальное
распределение с плотностью
f(x) =
()
2
2
xm
2σ
1
e
2πσ
−
−
содержит два параметра m и σ. Параметры теоретического распределения
нужно выбирать, очевидно, так, чтобы полученное распределение как можно
лучше согласовывалось с опытными данными, то есть с выборкой. Другими
словами, теория должна как можно точнее описывать эксперимент. Одним из
способов выбора параметров теоретического распределения является
метод
моментов
: параметры α
1
,
α
2
, … ,
α
k
выбираются так, чтобы k первых моментов
теоретического распределения совпадали с их выборочными оценками.
Рассмотренные нами в начале параграфа распределения содержат один
или два параметра. Первыми двумя моментами являются математическое
ожидание и дисперсия. Поэтому метод моментов в нашем случае сводится к
такому выбору одного или двух параметров теоретического распределения,
чтобы выполнялось первое или или равенства:
m
x
=
ˆ
x
m;
2
x
σ =
ˆ
2
x
σ , (1.24)
где
ˆ
x
m
и
ˆ
2
x
σ – оценки математического ожидания и дисперсии по выборке.
Например, в случае экспоненциального распределения имеется только
один параметр
λ, при этом m
x
= 1 λ и из первого равенства (1.24) получаем
λ =
ˆ
x
1m . В случае же нормального распределения параметров два, при этом
m
x
= m и
22
x
σσ= , поэтому из обоих равенств (1.24) получаем два параметра:
ˆ
x
mm= и
2
ˆ
2
x
σσ= .
Отметим, что метод моментов является лишь одним из возможных
методов определения параметров теоретического распределения. Для
некоторых типов распределений он может дать плохие результаты.

Страницы