Математическая статистика. Крашенинников В.Р - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

- 17 -
некоторая функция U = U (S , H
0
). Вся область значений D критерия U делится
на две области D
0
и D
1
. Если вычисленное значение критерия принадлежит
области D
0
, то гипотеза H
0
принимается, в противном случае Н
0
отвергается.
Область D
0
называется областью допустимых значений или областью
принятия гипотезы, область D
1
называется областью отклонения гипотезы
или критической областью.
Поясним это следующим примером. Пусть выдвинута гипотеза Н
0
, что
вероятность события А равна 0,6. В серии же из 100 опытов событие
произошло m раз. В качестве критерия примем функцию U = | m/100–0,6|, то
есть отклонение относительной частоты события А в серии из 100 испытаний
от предлагаемой вероятности 0,6. Множество значений D критерия есть
отрезок [0 ; 0,6]. Естественно принимать гипотезу Н
0
, если m/100 не слишком
отличается от 0,6 и отвергать, если разница велика, например, превышает 0,2.
Таким образом, Н
0
принимается, если значение U = |m/100–0,6| ≤ 0,2, и
отвергается, если U > 0,2. Для этого примера области D
0
и D
1
показаны на
рис.1.8.
Рис.1.8. Допустимая и критическая области принятия решения.
Выборка S является случайной, поэтому и U(S , H
0
) является случайной
величиной. Следовательно, принятие или отклонение гипотезы – случайные
события и при проверке гипотез возможны следующие ошибки.
1.
Гипотеза верна, но отвергается (ошибка первого рода).
2.
Гипотеза неверна, но принимается (ошибка второго рода).
Вероятность β ошибки первого рода называют уровнем значимости
критерия. Таким образом, уровень значимости есть вероятность отвергнуть
истинную гипотезу.
Если
α
- вероятность ошибки второго рода, то
γ=1 α−
называется
мощностью критерия. Это вероятность отвержения неверной гипотезы.
Вероятности обеих ошибок желательно минимизировать, но оказывается,
что попытка уменьшить вероятность одной ошибки приводит к увеличению
вероятности другой. Поэтому вероятность одной из ошибок задаётся, а
вероятность второй ошибки стараются сделать минимальной.
Чаще всего для проверки гипотез о законах распределения применяется
критерий согласия χ
2
(хи-квадрат), предложенный К.Пирсоном. Рассмотрим
этот критерий.
Пусть имеется группированная выборка S и выдвинута гипотеза H
0
, что
случайная величина Х имеет функцию распределения F(x). Если бы гипотеза
0 0,2 0,6
D
0
D
1

Страницы