Математическая статистика. Крашенинников В.Р - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

- 18 -
Н
0
была верна, то вероятность попадания значения Х в i–ый частичный
интервал [a
i
; a
i+1
] была бы равна
P
i
= F(a
i+1
) – F(a
i
) , (1.27)
а математическое ожидание числа попаданий Х в этот полуинтервал, то есть
ожидаемая или теоретическая частота была бы равна
n
i
= nР
i
, (1.28)
где n = m
1
+ m
2
+ … + m
k
. Критерий χ
2
оценивает меру расхождения
теоретических nP
i
и статистических (или выборочных) частот m
i
:
χ
2
=
(
)
2
k
ii
i=1
i
m-nP
nP
∑
. (1.29)
Чем больше отличаются m
i
от nP
i
, тем больше значение χ
2
К.Пирсон доказал, что при истинности H
0
распределение случайной
величины (1.29) при n→∞ неограниченно приближается к так называемому χ
2
–
распределению, независимо от вида распределения F(x). Это приближение к χ
2
– распределению можно считать удовлетворительным, если все частоты m
i
достаточно велики. Будем поэтому предполагать, что все m
i
≥ 6.
Следует отметить, что между теоретическими частотами n
i
= nP
i
и
статистическими частотами m
i
имеются некоторые связи. Одна связь имеется
всегда:
n
1
+ n
2
+ … + n
k
= m
1
+ m
2
+ … + m
k
= n . (1.30)
Другие связи появляются при оценке параметров теоретического
распределения по выборке. Если, например, приравнены теоретическое и
выборочное среднее, то имеется одна дополнительная связь. Если приравнены
ещё и дисперсии, то дополнительных связей будет две. Эти связи приводят к
зависимости слагаемых в выражении (1.29) между собой.
Наличие связей учитывается определением числа независимых слагаемых
в выражении (1.29), называемом числом степеней свободы, которое
определяется по формуле:
r = k – 1 – s , (1.31)
где k – число частичных интервалов группированной выборки, s – число
дополнительных связей (кроме связи (1.30)) между теоретическим
распределением и выборкой. Число s равно количеству параметров
теоретического распределения, определённых именно по выборке. В это число
не входят параметры, определённые по каким – либо соображениям независимо
от выборки. Например, может быть известно заранее, что X имеет нулевое
математическое ожидание. Тогда при гипотезе о нормальном распределении

Страницы