ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
- 9 -
8.2. Указания к задаче 27
Пример 8.2. Случайная величина
ξ
имеет плотность распределения
()
2
2
2
x
exp
−
=
π
ξ
, заданную на всей числовой прямой. Найти плотность распреде-
ления вероятностей
()
yp
η
величины
2
ξ
η
−
= e .
Решение. В данном случае функциональная зависимость
()
2
ξ
ξϕη
−
== e -
немонотонная функция: она возрастает на
]
(
0,
∞
−
и убывает на
[
)
+∞,0 . Поэтому
воспользуемся формулами (8.1) и (8.2), учитывая, что
η
принимает значения на
(
]
1,0 . Найдём сначала функцию распределения величины
η
по формуле (8.1):
() ()
()
∑
∫
∆
=
k
y
k
dxxpyF
ξη
,
где
()
y
k
∆
- интервалы, где выполняется неравенство
(
)
yx
<
ϕ
, т. е.
ye
x
<
−
2
. Лога-
рифмируя обе части последнего неравенства, получаем:
yx ln
2
<− , yx ln
2
−> ,
yx ln−>
, т. е. два интервала
(
)
(
)
yy ln,
1
−−∞−=∆
и
()
(
)
+∞−=∆ ,ln
2
yy .
В силу симметричности этих интервалов относительно начала координат
x=0 и чётности
()
xp
ξ
, два интеграла, составляющие
(
)
yF
η
, равны между собой,
поэтому достаточно вычислить один из них, например, второй:
()
()
∫∫
∆
−
+∞
−
=
y
x
y
dxedxxp
2
2
2
ln
2
π
ξ
.
Для нахождения этого интеграла приведём подынтегральную функцию к виду
плотности нормального распределения:
()
()
()
∫
∞+
−
×
−
−
−Φ−=
−
∞+
−
Φ=
×
y
x
y
y
x
dxe
ln
2
1
2
0
ln2
2
1
ln
2
1
0
2
1
2
1
2
2
π
,
где
()
dxet
t
x
∫
−
=Φ
0
2
2
2
1
π
- функция Лапласа. Таким образом,
()
()
(
]
>
∈−Φ−
≤
=
.1,1
,1,0,ln221
,0,0
y
yy
y
yF
η
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
