Теория вероятностей и математическая статистика. Крашенинников В.Р - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

- 7 -
Математическая идеализация указанного явления опирается на использова-
ние
дельта-функции
()
y
δ
, которая не является функцией в обычном понимании, а
представляет собой так называемую
обобщённую функцию. Будем рассматривать
()
y
δ
как производную функции единичного скачка:
()
≤
>
=
.0,0
,0,1
y
y
y
η
В классическом анализе функция
(
)
y
η
не дифференцируема в точке y = 0, однако в
теории обобщённых функций это ограничение снимается; таким образом,
() ()
yy
η
δ
′
= . (8.4)
Представим функцию
()
yF
η
в виде
() () ( )
∑
=
−+=
n
k
kk
yypyFyF
1
~
η
ηη
, (8.5)
где
()
yF
η
~
- непрерывная (“сомкнутая”) функция.
Согласно формулам (8.2) и (8.4) получаем
() () ( )
∑
=
−+=
n
k
kk
yypypyp
1
~
δ
ηη
, (8.6)
где
() ()
yFyp
ηη
′
=
~
~
.
Пусть теперь
()
21
,
ξ
ξ
,
)
21
,
η
η
- двухмерные случайные величины, причём
()
2111
,
ξ
ξ
η
f= ,
()
2122
,
ξ
ξ
η
f= , (8.7)
где функции f
1
и f
2
предполагаются непрерывно дифференцируемыми и отображе-
ние (8.7) – взаимно-однозначным, т. е. существуют функции
1
ϕ
и
2
ϕ
такие, что
()
2111
,
η
η
ϕ
ξ
= ,
()
2122
,
η
η
ϕ
ξ
= . Тогда плотность распределения
()
21
, yyp
η
двухмер-
ной случайной величины
()
21
,
η
η
выразится через плотность распределения
()
21
, xxp
ξ
случайной величины
()
21
,
ξ
ξ
:
() ()
)
[
]
Iyyyypyyp
×
=
21221121
,,,,
ϕ
ϕ
ξη
,
2
2
1
2
2
1
1
1
yy
yy
I
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
ϕϕ
ϕϕ
. (8.8)
Пусть случайная величина
(
)
ξ
ϕ
η
=
есть функция случайной величины
ξ
.
Если требуется определить лишь числовые характеристики случайной величины
η
, нет необходимости находить её закон распределения. Числовые характеристи-
ки выражаются через закон распределения случайного аргумента
ξ
. Так если
ξ

Страницы