Теория вероятностей и математическая статистика. Крашенинников В.Р - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

- 18 -
10. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ
ТЕОРЕМА
Под законом больших чисел понимают ряд теорем, объединённых идеей ус-
тойчивости средних результатов при большом числе испытаний.
Теорема Чебышева. Пусть случайные величины
1
ξ
,
2
ξ
, …,
n
ξ
, … попарно
независимы и
cD
i
≤
ξ
, i = 1, 2, …, где c – некоторая постоянная. Тогда при любом
0>
ε
выполняется предельное соотношение
1
11
lim
11
=
<−
∑∑
==
∞→
εξ
ξ
n
i
n
i
i
n
i
nn
P
М . (10.1)
Теорема Маркова. Пусть случайные величины
1
ξ
,
2
ξ
, …,
n
ξ
, … удовлетво-
ряют условию
0
1
1
2
→
∑
=
n
i
i
D
n
ξ
при
∞→n
. (10.2)
Тогда при любом
0
>
ε
выполняется предельное соотношение (10.1).
Теорема Бернулли. Пусть m – число успехов в n независимых испытаниях, p
– вероятность успеха в каждом испытании. Тогда при любом
0
>
ε
1lim =
<−
∞→
ε
p
n
m
P
n
. (10.3)
Доказательство этих теорем основано на
неравенстве Чебышева
P
{
εξ
ξ
≥− М }
2
ε
ξ
D
≤ , (10.4)
справедливом при любом 0
>
ε
для любой случайной величины
ξ
, имеющей ко-
нечное математическое ожидание
ξ
М и конечную дисперсию
ξ
D .
Центральная предельная теорема для одинаково распределённых случайных
слагаемых.
Пусть
1
ξ
,
2
ξ
, …,
n
ξ
, … - независимые одинаково распределённые слу-
чайные величины, имеющие математические ожидания
a
i
=
ξ
М и дисперсии
2
σ
ξ
=
i
D . Тогда при ∞→n функция распределения нормированной суммы
()
∑
=
−
=
n
i
i
n
n
a
1
σ
ξ
η
(10.5)
сходится к функции распределения нормальной случайной величины с параметра-
ми (0,1), т. е. при любом
x
{}
∫
∞−
−
∞→
→<
x
z
n
n
dzexP
2
2
2
1
π
η
. (10.6)

Страницы