Теория вероятностей и математическая статистика. Крашенинников В.Р - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

- 22 -
где a
i
– возможные значения случайной величины
ξ
;
()
α
i
p
- соответствую-
щие вероятности, зависящие от неизвестного параметра
α
, причём
()
1
1
=
∑
=
n
i
i
p
α
при любом допустимом значении
α
. Множество значений a
i
случайной величины
ξ
может быть не только конечным, но и счётным.
Если среди наблюдаемых выборочных значений
(
)
n
xxx ,...,,
21
число a
i
встречается n
i
раз (i = 1, 2, …, k), то для вероятности
(
)
α
;,...,,
21 n
xxxL полу-
чения данной выборки имеем выражение
( ) () () ()
αααα
k
n
k
nn
n
pppxxxL ×××= ...;,...,,
21
2121
. (11.2)
Функция (11.2) параметра
α
называется функцией правдоподобия, а величи-
на
*
α
, при которой функция
(
)
α
;,...,,
21 n
xxxL достигает максимума, – оцен-
кой максимального правдоподобия неизвестного параметра
α
.
Для непрерывной случайной величины
ξ
с плотностью распределения
()
α
,xp , зависящей от неизвестного параметра
α
, метод максимального
правдоподобия остаётся в силе. Отличие состоит в том, что теперь функция
правдоподобия
()
(
)
(
)()
α
α
α
α
,...,,;,...,,
2121 nn
xpxpxpxxxL
×
×
×
=
выражается
не через вероятность получения данной выборки, а через плотность распре-
деления n-мерной случайной величины
(
)
n
Χ
Χ
Χ
,...,,
21
, зависящую от пара-
метра
α
. При этом
α
служит аргументом, значения x
1
, x
2
, …, x
n
считаются
фиксированными.
11.1. Указания к задачам 34 и 35
Пример 11.1. Дискретная случайная величина
ξ
имеет распределение
()()
aamP
m
−== 1
ξ
, m = 0, 1, 2, …, с неизвестным параметром a. Используя метод
моментов и метод максимального правдоподобия, получить точечные оценки па-
раметра a по выборке
()( )
7,9,6,3,10,12,0,5,6,2,...,,
1021
=xxx
.
Решение.
Построим сначала оценку по методу моментов. Для этого нам по-
надобится математическое ожидание величины
ξ
:
( ) ()() ()
=
−=−=−===
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
−
∞
=
∞
=
1
00
1
00
111
a
m
m
m
m
m
m
m
aaamaaaamammP
ξ
ξ
М
() ()
()
a
a
a
aa
a
aa
a
−
=
−
−=
−
−=
1
1
1
1
1
1
1
2
1
.
Приравнивая точное значение
ξ
М к его выборочному значению

Страницы