ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
- 23 -
()
6796310120562
10
11
=+++++++++==
∑
i
x
n
x (уравнение 11.1), получаем
уравнение
6
1
=
− a
a
, решением которого является
7
6
61
6
=
+
=a
. Таким образом, по
методу моментов получаем оценку
76
*
=a
.
Построим теперь оценку методом максимального правдоподобия. Для этого
составим функцию правдоподобия (11.2):
( )( )()() ( )
=−××−×−== aaaaaaaaLaxxxL
n
762
21
...11;7,9,6,3,10,12,0,5,6,2;,...,,
()
10
1
60
aa −=
.
Оценкой максимального правдоподобия является точка максимума функции прав-
доподобия. Для нахождения этой точки возьмём производную функции
()
10
1
60
aa − и приравняем её к нулю:
() () ()( )
076110110160
9
59
910
59
60
=−−=−−− aaaaaaa .
Корнями этого уравнения являются a
1
= 0, a
2
= 1 и a
3
= 6/7. При этом, очевидно,
точкой максимума является только a
3
. Таким образом, оценкой по максимуму
правдоподобия является
76
*
=a
.
Отметим, что в нашем примере оценки, полученные двумя методами совпа-
ли. Такое совпадение не обязательно – иногда эти методы дают разные оценки.
12. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ.
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ
Кроме точечных оценок используются так называемые доверительные ин-
тервалы: указывается не одна точка
()
n
XXX ,...,,
21
*
α
, а интервал
()
α
α
, , к кото-
рому с заданной вероятностью принадлежит истинное значение параметра
α
,
()
Θ
=<<
α
α
α
P .
Число Θ , 10
<
Θ< называется доверительной вероятностью и характеризу-
ет надёжность полученной оценки: чем ближе
Θ
к единице, тем надёжнее оценка
(обычно выбирают
Θ
= 0,9; 0,95 или 0,99).
Величины
α
и
α
называются доверительными границами. Они являются
функциями выборочных значений
(
)
n
XXX ,...,,
21
α
α
=
,
()
n
XXX ,...,,
21
α
α
=
и,
следовательно, являются случайными величинами.
Интервал
()
α
α
,
со случайными границами
α
α
,
, которые при любом допус-
тимом значении
α
удовлетворяют соотношению
(
)
Θ=
<
<
α
α
α
P , называется до-
верительным интервалом для неизвестного параметра
α
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
