Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§21. Поле комплексных чисел 99
и
x −y
y x
·
x
x
2
+y
2
y
x
2
+y
2
−y
x
2
+y
2
x
x
2
+y
2
=
1 0
0 1
, x
2
+ y
2
6= 0,
то есть M(x, y) · M
x
x
2
+y
2
,
−y
x
2
+y
2
= E.
Изучим, как действует матрица I в пространстве R
2
. Рассмотрим произ-
вольный вектор ¯v = (x, y) ∈ R
2
. Тогда I · ¯v = (−y, x) и поэтому
7
kI · ¯vk = k¯vk, (¯v, I · ¯v) = 0.
Значит, вектор I · ¯v имеет ту же длину что и ¯v и перпендикулярен ему. Дей-
ствие матрицы I — это поворот плоскости на 90
◦
против часовой стрелки.
Поле комплексных чисел. Сопоставим матрице M(x, y) точку (x, y) ∈ R
2
и обо значим эту точку через z = x + iy. Операции сложения и умножения
матриц перейдут в следующие:
z + z
′
= (x + x
′
) + i(y + y
′
), zz
′
= (xx
′
− yy
′
) + i(xy
′
+ x
′
y).
Свойства:
z + z
′
= z
′
+ z, z + (z
′
+ z
′′
) = (z + z
′
) + z
′′
,
z + 0 = z, z + (−z) = 0,
где
0 = 0 + i · 0, − z = −x + i(−y),
zz
′
= z
′
z, z(z
′
z
′′
) = (zz
′
)z
′′
,
и
z ·1 = z, zz
−1
= 1,
где
1 = 1 + i · 0, z
−1
=
x
x
2
+ y
2
− i
y
x
2
+ y
2
, z 6= 0.
Велич´ины z = x+iy, которые складывают и умножают по указанным пра-
вилам, называются компл´ексными числами, а такая запись — алгебраической
формой записи комплексного числа. Множест в о всех комплексных чисел о б -
разует поле, которое обозначается через C и называется полем комплексных
чисел. Частным от деления двух комплексных чисел z и z
′
, z
′
6= 0, называется
комплексное число
z
z
′
= zz
−1
.
7
Напомним, что kvk обозначает длину вектора v, а (v, w) — скалярное произведение векторов v
и w (см. §10).
§21. Поле комплексных чисел                                                                 99

и                    x                 y         
              x −y                                1 0
                                                                     x2 + y 2 6= 0,
                             2 +y 2     2
                                      x +y  2
                      · x −y              x   =         ,
               y x           2
                            x +y  2     2
                                      x +y  2     0 1
                                     
                       x        −y
то есть M(x, y) · M x2 +y 2 , x2 +y 2    = E.
   Изучим, как действует матрица I в пространстве R2 . Рассмотрим произ-
вольный вектор v̄ = (x, y) ∈ R2 . Тогда I · v̄ = (−y, x) и поэтому7
                              kI · v̄k = kv̄k,   (v̄, I · v̄) = 0.
Значит, вектор I · v̄ имеет ту же длину что и v̄ и перпендикулярен ему. Дей-
ствие матрицы I — это поворот плоскости на 90◦ против часовой стрелки.
Поле комплексных чисел. Сопоставим матрице M(x, y) точку (x, y) ∈ R2
и обозначим эту точку через z = x + iy. Операции сложения и умножения
матриц перейдут в следующие:
       z + z ′ = (x + x′) + i(y + y ′ ),         zz ′ = (xx′ − yy ′ ) + i(xy ′ + x′ y).
Свойства:
       z + z ′ = z ′ + z,                        z + (z ′ + z ′′ ) = (z + z ′ ) + z ′′ ,
       z + 0 = z,                                z + (−z) = 0,
где
       0 = 0 + i · 0,                            − z = −x + i(−y),
       zz ′ = z ′ z,                             z(z ′ z ′′ ) = (zz ′ )z ′′ ,
и
       z · 1 = z,                                zz −1 = 1,
где
                                                x            y
       1 = 1 + i · 0,                            z −1 =
                                                      − i          , z 6= 0.
                                             x2 + y 2     x2 + y 2
   Величи́ны z = x+iy, которые складывают и умножают по указанным пра-
вилам, называются компле́ксными числами, а такая запись — алгебраической
формой записи комплексного числа. Множество всех комплексных чисел об-
разует поле, которое обозначается через C и называется полем комплексных
чисел. Частным от деления двух комплексных чисел z и z ′ , z ′ 6= 0, называется
комплексное число zz′ = zz −1 .
    7Напомним, что kvk обозначает длину вектора v, а (v, w) — скалярное произведение векторов v
и w (см. §10).

Страницы