Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

98 §21. Поле комплексных чисел
множество таких подмножеств и положим
[a] + [b] = [a + b], [a] · [b] = [a ·b], a, b ∈ R. (8)
Предложение 4. Относительно операций (8) множество R/S является
кольцом, а отображение S → R/S, сопоставляющее каждому элементу a ∈ S
подмножество [a] ⊂ S, — эпиморфизмом колец. Ядром этого э пиморфизма
является идеал S.
Определение 16. Кольцо R/S называется факторкольцом кольца R по
идеалу S.
Пример 38. Пусть R = Z и S = k · Z = {kn | n ∈ Z }. Тогда S =
= k ·Z — идеал кольца целых чисел, а факторкольцо Z/S изо м о рфно кольцу
вычетов Z
k
.
§21. Поле комплексных чисел
Мнимые числа — это прекрасное и
чудесное убежище божес твенного
духа, почти что амфибия бытия с
небытием.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Комплексные числа возникли как обобщение чисел веществе нных при по-
пытках решать произвольные квадратные (и более общие) уравнения.
Матричное представление. Рассмотрим матрицы вида
M(x, y) =
x −y
y x
= x·E +y·I, где E =
1 0
0 1
, I =
0 −1
1 0
, x, y ∈ R.
Имеют место равенства
x −y
y x
+
x
′
−y
′
y
′
x
′
=
x + x
′
−y − y
′
y + y
′
x + x
′
,
x −y
y x
·
x
′
−y
′
y
′
x
′
=
xx
′
− yy
′
−xy
′
− x
′
y
xy
′
+ x
′
y xx
′
− yy
′
,
то есть
M(x, y) + M(x
′
, y
′
) = M(x + x
′
, y + y
′
),
M(x, y) · M(x
′
, y
′
) = M(xx
′
− yy
′
, xy
′
+ x
′
y).
В частности, I
2
= I · I = −E. При этом
x −y
y x
= x
2
+ y
2
98                                                  §21. Поле комплексных чисел

множество таких подмножеств и положим
               [a] + [b] = [a + b],   [a] · [b] = [a · b],   a, b ∈ R.      (8)
   Предложение 4. Относительно операций (8) множество R/S является
кольцом, а отображение S → R/S, сопоставляющее каждому элементу a ∈ S
подмножество [a] ⊂ S, — эпиморфизмом колец. Ядром этого эпиморфизма
является идеал S.
  Определение 16. Кольцо R/S называется факторкольцом кольца R по
идеалу S.
  Пример 38. Пусть R = Z и S = k · Z = { kn | n ∈ Z }. Тогда S =
= k · Z — идеал кольца целых чисел, а факторкольцо Z/S изоморфно кольцу
вычетов Zk .

§21. Поле комплексных чисел
                                            Мнимые числа — это прекрасное и
                                            чудесное убежище божественного
                                            духа, почти что амфибия бытия с
                                            небытием.
                                            Готфрид Вильгельм Лейбниц
  Комплексные числа возникли как обобщение чисел вещественных при по-
пытках решать произвольные квадратные (и более общие) уравнения.
Матричное представление. Рассмотрим матрицы вида
                                                      
            x −y                          1 0          0 −1
M(x, y) =          = x·E +y ·I, где E =         , I=         , x, y ∈ R.
            y x                           0 1          1 0
Имеют место равенства
                       ′                          
                 x −y     x −y ′       x + x′ −y − y ′
                        + ′       =                      ,
                 y x      y x′         y + y ′ x + x′
                    ′         ′                      
              x −y      x −y ′    xx − yy ′ −xy ′ − x′y
                      · ′       =                           ,
              y x       y x′      xy ′ + x′ y xx′ − yy ′
то есть
                  M(x, y) + M(x′ , y ′) = M(x + x′ , y + y ′ ),
                M(x, y) · M(x′ , y ′ ) = M(xx′ − yy ′ , xy ′ + x′ y).
В частности, I 2 = I · I = −E. При этом
                                 x −y
                                      = x2 + y 2
                                 y x

Страницы