Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20. Кольца и поля вычетов 97
всевозможных остатков от деления на k. Определим на множестве Z
k
опера-
ции сложения и умножения следующим образом
a + b = остаток от деления сумм ы a и b на k (6)
и
ab = остаток от деле ния произведе ния a и b на k. (7)
Теорема 5. Относительно операций (6) и (7) множество Z
k
является ко м -
мута т ивным и ассоциативным кольцом с единицей. Это кольцо является по-
лем тогда и только тогда, когда k — прос т о е число.
Определение 1 5 . Множество Z
k
, снабжённое операцией сложения (6) и
умножения (7) называется кольцом вычетов по модулю k. Если k — простое
число, то оно называется полем вычетов.
Пример 37. Структура кольца (поля) в Z
k
задаётся таблицами сложения
и умножения. Например, для поля Z
2
эти таблицы имеют вид
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
,
· 0 1
0 0 0
1 0 1
,
в поле Z
3
—
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
,
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
,
а в кольце Z
6
та б лицы тако в ы:
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 1 4
,
· 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
.
Кольца и поля вычето в широко используются в криптографии и являются
частными с лучаям и очень важной для алгебры конструкции. Пусть S ⊂ R —
идеал кольца R. Рассмотрим элемент a ∈ R и подмножество [a] ⊂ R всех
та ких элементов a
′
∈ R, что a
′
−a ∈ S. Можно показать, что любые два таких
подмножества либо совпадают, либо не пересекаются
6
. Обозначим через R/S
6
Причина состоит в том, что отношение a ∼ a
′
⇔ a
′
−a ∈ S является отношением эквивалент-
ности.
§20. Кольца и поля вычетов                                                                97

всевозможных остатков от деления на k. Определим на множестве Zk опера-
ции сложения и умножения следующим образом
                   a + b = остаток от деления суммы a и b на k                           (6)
и
                 ab = остаток от деления произведения a и b на k.                        (7)
  Теорема 5. Относительно операций (6) и (7) множество Zk является ком-
мутативным и ассоциативным кольцом с единицей. Это кольцо является по-
лем тогда и только тогда, когда k — простое число.
  Определение 15. Множество Zk , снабжённое операцией сложения (6) и
умножения (7) называется кольцом вычетов по модулю k. Если k — простое
число, то оно называется полем вычетов.
   Пример 37. Структура кольца (поля) в Zk задаётся таблицами сложения
и умножения. Например, для поля Z2 эти таблицы имеют вид
                          + 0 1        · 0 1
                          0 0 1 ,     0 0 0 ,
                          1 1 0       1 0 1
в поле Z3 —
                       + 0 1 2         · 0 1 2
                        0 0 1 2       0 0 0 0
                                 ,               ,
                        1 1 2 0       1 0 1 2
                        2 2 0 1       2 0 2 1
а в кольце Z6 таблицы таковы:
                + 0 1 2 3 4 5          · 0 1 2 3 4 5
                 0 0 1 2 3 4 5        0 0 0 0 0 0 0
                 1 1 2 3 4 5 0        1 0 1 2 3 4 5
                 2 2 3 4 5 0 1 ,      2 0 2 4 0 2 4 .
                 3 3 4 5 0 1 2        3 0 3 0 3 0 3
                 4 4 5 0 1 2 3        4 0 4 2 0 4 2
                 5 5 0 1 2 1 4        5 0 5 4 3 2 1
   Кольца и поля вычетов широко используются в криптографии и являются
частными случаями очень важной для алгебры конструкции. Пусть S ⊂ R —
идеал кольца R. Рассмотрим элемент a ∈ R и подмножество [a] ⊂ R всех
таких элементов a′ ∈ R, что a′ −a ∈ S. Можно показать, что любые два таких
подмножества либо совпадают, либо не пересекаются6. Обозначим через R/S
    6Причина состоит в том, что отношение a ∼ a′ ⇔ a′ − a ∈ S является отношением эквивалент-
ности.

Страницы