Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

100 §21. Поле комплексных чисел
O
z
¯z
Re z
Im z
−Im z
O
z
z
′
z + z
′
z − z
′
Рис. 1: Геометрическое представление комплексного числа, сумма и разнос ть
комплексных чисел
Если z = x + iy, то действительное число x называется вещественной
частью комплексного числа z и обозначается через Re z; число y называется
мнимой частью комплексного числа z и обозначается через Im z. Если Im z =
= 0, то есть z = x, то это действительное число. Числа, у которых Re z = 0,
называются чисто мнимыми. Комплексное число i = 0 + i · 1 называется
мнимой единицей. П ри этом i
2
= −1.
Для всякого комплексного числа z = x + iy число ¯z = x − iy называ-
ется комплексно-сопряжённым данному. Операция комплексного сопряже-
ния z 7→ ¯z обладает следующими свойства м и:
z + z
′
= ¯z + ¯z
′
, zz
′
= ¯z¯z
′
,
¯
¯z = z, z + ¯z = 2 Re z, z − ¯z = 2i Im z.
Комплексное число является действительным тогда и только тогда, когда z =
= ¯z, и чисто мнимым тогда и только тогда, когда z = −¯z.
Замечание. Операция комплексного сопряжения z 7→ ¯z является изо-
морфизмом поля комплексных чисел в себя.
Модуль и аргумент. Для любого комплексного числа z произведение z¯z =
x
2
+ y
2
является действительным числом. Число
ρ = |z| =
p
x
2
+ y
2
называется модулем числа z. Угол ϕ, для которого справедливы равенства
sin ϕ =
Im z
ρ
, cos ϕ =
Re z
ρ
,
100                                                                   §21. Поле комплексных чисел

                          z
       Im z


                                                             z − z′               z
                                                                                               z + z′
           O              Re z


                                                                       O
  −Im z                                                                                   z′
                          z̄
Рис. 1: Геометрическое представление комплексного числа, сумма и разность
комплексных чисел

   Если z = x + iy, то действительное число x называется вещественной
частью комплексного числа z и обозначается через Re z; число y называется
мнимой частью комплексного числа z и обозначается через Im z. Если Im z =
= 0, то есть z = x, то это действительное число. Числа, у которых Re z = 0,
называются чисто мнимыми. Комплексное число i = 0 + i · 1 называется
мнимой единицей. При этом i2 = −1.
   Для всякого комплексного числа z = x + iy число z̄ = x − iy называ-
ется комплексно-сопряжённым данному. Операция комплексного сопряже-
ния z 7→ z̄ обладает следующими свойствами:
      z + z ′ = z̄ + z̄ ′ ,    zz ′ = z̄ z̄ ′ ,   z̄¯ = z,     z + z̄ = 2 Re z,   z − z̄ = 2i Im z.
Комплексное число является действительным тогда и только тогда, когда z =
= z̄, и чисто мнимым тогда и только тогда, когда z = −z̄.
  Замечание. Операция комплексного сопряжения z 7→ z̄ является изо-
морфизмом поля комплексных чисел в себя.
Модуль и аргумент. Для любого комплексного числа z произведение zz̄ =
x2 + y 2 является действительным числом. Число
                                      p
                             ρ = |z| = x2 + y 2
называется модулем числа z. Угол ϕ, для которого справедливы равенства
                              Im z           Re z
                      sin ϕ =      , cos ϕ =      ,
                               ρ              ρ

Страницы