Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 102 стр.

§21. Поле комплексных чисел                                                     101

называется аргументом комплексного числа z. Аргумент определён с точ-
ностью до 2π и обозначается через Arg z. Значение аргумента, выбранное в
интервале (−π, π], называется главным и обозначается через arg z.
   Главное значение аргумента вычисляется по следу-
ющей формуле:                                                    z
                       y
              
              
               arctg  x ,    если x > 0,
                      y
              arctg x + π, если x < 0, y > 0,
              
              




                                                                         ρ
       arg z = arctg xy − π, если x < 0, y < 0,
              
                π
              
              
                2
                   ,          если x = 0, y > 0,               ϕ
              
              − π ,
                     2        если x = 0, y < 0.        O
При z = 0 значение аргумента не определено.
   Таким образом, любое комплексное число можно за-
писать в виде                                                   Рис. 2: Модуль и ар-
                 z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ).                        гумент комплексно-
Эта форма записи называется тригонометрической. го числа
Она удобна для умножения и деления комплексных чи-
сел:
                     zz ′ = ρρ′ (cos(ϕ + ϕ′ ) + i sin(ϕ + ϕ′))
и
                       z    ρ
                        ′
                          =  ′
                               (sin(ϕ − ϕ′ ) + i cos(ϕ − ϕ′ )),
                      z     ρ
а также
                    z n = ρn (sin(nϕ) + i cos(nϕ)), n ∈ N.
Последняя формула называется формулой Муавра.
   Числа cos ϕ + i sin ϕ записывают также в виде eiϕ , или exp(iϕ). Таким
образом, каждое комплексное число можно представить как
                                 z = ρeiϕ ≡ ρ exp(iϕ).                          (9)
Это называется экспоненциальной, или показательной формой записи. Име-
ют место равенства
                             ′              ′     ρeiϕ      ρ i(ϕ−ϕ′ )
                   ρeiϕ ρ′ eiϕ = ρρ′ ei(ϕ+ϕ ) ,           =    e
                                                  ρ′ eiϕ′
                                                            ρ′
(в последнем случае ρ′ 6= 0).
   Замечание. Из экспоненциальной формы записи комплексных чисел вы-
текают следующие связи между гиперболическими (см. §14) и тригонометри-
ческими функциями, называемые формулами Эйлера:
                 sh ix = i sin x,                    ch ix = cos x,