Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§21. Поле комплексных чисел 103
Рис. 3: Корни 6-й степени из 1 (слева) и −1 (справа)
Это — биквадратное уравнение, и его вещественными корнями являются
x
1,2
= ±
s
p
p
2
+ q
2
+ p
2
, x
3,4
= ±
s
p
p
2
+ q
2
− p
2
.
Из четырёх возможных комбинаций только две при возведе нии в квадрат
дают исходное число:
±
q
√
p
2
+q
2
+p
2
± i
q
√
p
2
+q
2
−p
2
, если p > 0,
±
q
√
p
2
+q
2
+p
2
∓ i
q
√
p
2
+q
2
−p
2
, если p < 0,
(12)
и именно они являются квадратными корнями из комплексного числа p + iq.
Решение квадратных уравнений. Рассмотрим уравнение
az
2
+ bz + c = 0, a, b, c ∈ R, a 6= 0.
Его решениями являются
z
1,2
=
−b ±
√
D
2a
, D > 0,
−b ± i
√
−D
2a
, D < 0,
где D = b
2
− 4ac. Заметим, что если корни комплексные (случай D < 0 ), то
они комплексно сопряжены. Таким же свойством обладают решения любо-
го уравнения (10) с действительными коэффициентами: е сли число z — его
решение, то ¯z также является решением.
§21. Поле комплексных чисел                                          103




           Рис. 3: Корни 6-й степени из 1 (слева) и −1 (справа)


Это — биквадратное уравнение, и его вещественными корнями являются
                  sp                          sp
                       2   2
                      p +q +p                    p2 + q 2 − p
          x1,2 = ±               ,    x3,4 = ±                .
                         2                           2
Из четырёх возможных комбинаций только две при возведении в квадрат
дают исходное число:
                  q√                 q√
                      p2 +q 2 +p        p2 +q 2 −p
                 ±q              ± i               , если p > 0,
                     √ 22 2          q√ 2                        (12)
                      p +q +p           p2 +q 2 −p
                 ±       2
                                 ∓i        2
                                                   , если p < 0,
и именно они являются квадратными корнями из комплексного числа p + iq.
Решение квадратных уравнений. Рассмотрим уравнение

                 az 2 + bz + c = 0,    a, b, c ∈ R,   a 6= 0.

Его решениями являются
                                     √
                                −b ±   D
                                         ,  D > 0,
                      z1,2   =      2a √
                                −b ± i −D , D < 0,
                               
                                     2a
где D = b2 − 4ac. Заметим, что если корни комплексные (случай D < 0), то
они комплексно сопряжены. Таким же свойством обладают решения любо-
го уравнения (10) с действительными коэффициентами: если число z — его
решение, то z̄ также является решением.

Страницы