Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

104 §22. Кольцо полиномов
Если уравнение имеет комплексные коэффициенты, то его решения имеют
вид
z
1,2
=
−b +
√
D
2a
,
где
√
D вычисляется по формулам (12).
Как и для уравнений с действительными коэффициентами, для произволь-
ных квадратных уравнений справедлива
Теорема 7 (тео рема Виета). Пусть
az
2
+ bz + c = 0, a, b, c ∈ C, a 6= 0,
и z
1
, z
2
— его корни. Тогда выполняются равенств а
z
1
z
2
=
c
a
, z
1
+ z
2
= −
b
a
. (13)
§22. Кольцо полиномов
Определение 17. Выражение вида
P (x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
, a
0
, a
1
, a
2
, . . . , a
n
∈ R, n ∈ N,
называется многочленом (или полиномом) от переменной x. Числа a
0
, . . . , a
n
называются коэффициентами многочлена, а число n — его степенью, ес-
ли a
n
6= 0. Многочлены нулевой степени — это числа.
Степень многочлена P(x) обозначается через deg P (x). Многочлены можно
складывать и перемножать, причём
deg(P (x) + Q(x)) 6 deg P ( x) + deg Q( x),
deg(P (x)Q(x)) = deg P (x) + deg Q(x).
(14)
Предложение 5. Множество многочленов является ассоциативным и
коммутативным кольцом с е диницей.
Кольцо многочленов обозначается через R[x].
Замечание. Вме сто поля R в качестве коэффициентов можно взять по-
ле комплексных чисел C. Мы тоже получим кольцо, которое обозначается
через C[x].
Замечание. Точно так же как и из кольца целых чисел было получе-
но поле рациональных чисел, из кольца многочленов можно получить поле
рациональных дробей. Оно состоит из отношений
P (x)
Q(x)
, где P (x) и Q(x) —
многочлены и Q(x) 6≡ 0.
104                                                              §22. Кольцо полиномов

   Если уравнение имеет комплексные коэффициенты, то его решения имеют
вид                                      √
                                    −b + D
                             z1,2 =        ,
                                       2a
    √
где D вычисляется по формулам (12).
   Как и для уравнений с действительными коэффициентами, для произволь-
ных квадратных уравнений справедлива
  Теорема 7 (теорема Виета). Пусть
                      az 2 + bz + c = 0,        a, b, c ∈ C,     a 6= 0,
и z1 , z2 — его корни. Тогда выполняются равенства
                                     c                   b
                              z1 z2 = ,       z1 + z2 = − .                                  (13)
                                     a                   a

§22. Кольцо полиномов
  Определение 17. Выражение вида
      P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn ,   a0 , a1 , a2, . . . , an ∈ R,   n ∈ N,
называется многочленом (или полиномом) от переменной x. Числа a0 , . . . , an
называются коэффициентами многочлена, а число n — его степенью, ес-
ли an 6= 0. Многочлены нулевой степени — это числа.
   Степень многочлена P (x) обозначается через deg P (x). Многочлены можно
складывать и перемножать, причём
                      deg(P (x) + Q(x)) 6 deg P (x) + deg Q(x),
                                                                                             (14)
                       deg(P (x)Q(x)) = deg P (x) + deg Q(x).
  Предложение 5. Множество многочленов является ассоциативным и
коммутативным кольцом с единицей.
  Кольцо многочленов обозначается через R[x].
   Замечание. Вместо поля R в качестве коэффициентов можно взять по-
ле комплексных чисел C. Мы тоже получим кольцо, которое обозначается
через C[x].
   Замечание. Точно так же как и из кольца целых чисел было получе-
но поле рациональных чисел, из кольца многочленов можно получить поле
                                               P (x)
рациональных дробей. Оно состоит из отношений Q(x)   , где P (x) и Q(x) —
многочлены и Q(x) 6≡ 0.

Страницы