Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

102 §21. Поле комплексных чисел
th ix = i tg x, cth ix = −i ctg x.
Кроме того, гиперболические функции в следующем смысле периодичны:
sh(x + 2πi) = sh x, ch(x + 2πi) = ch x,
th(x + πi) = th x, ctg(x + πi) = cth x.
Решение уравнений в комплексных числах. В 1799 году Карл Фридрих
Гаусс доказал следующий фундаментальный результат:
Теорема 6 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида
a
n
z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ . . . + a
1
z + a
0
= 0, a
n
6= 0, (10)
где a
0
, . . . , a
n
— комплексные числа, имеет ровно n комплексных корней, если
каждый корень считать с учётом его кратности.
Например, квадратные уравнения всегда имеют два корня (возможно, сов-
падающие), кубические — три и т.д.
Вычисление корней. Рассмотрим уравнение
z
n
= x + iy.
Его решения — корни n-й степени из числа, стоящего в правой части. Пред-
ставляя это число в тригонометрической форме и используя формулу Муавра,
получаем n различных корней
z
k
=
n
√
ρ
cos
ϕ + 2πk
n
+ i sin
ϕ + 2πk
n
, k = 0, 1, . . . , n − 1,
где
n
√
ρ — арифметическое значение корня. Таким образо м , каждое комплекс-
ное (и, в частности, действительное!) число имеет, не равное нулю, n различ-
ных корней степени n. Н апример, корнями 4-й степени из единицы являются
числа
1, i, −1, −i.
Выпишем выражение для квадратного корня из комплексного числа p+iq,
не используя формулу Муавра. Пусть z = x+iy — такое число, что z
2
= p+iq.
Тогда
x
2
− y
2
= p, 2xy = q. (11)
Следовательно, y =
q
2p
и, значит,
x
2
−
q
2
4x
2
= p,
то есть
4x
4
− 4px
2
− q
2
= 0.
102                                                 §21. Поле комплексных чисел

                th ix = i tg x,                    cth ix = −i ctg x.
Кроме того, гиперболические функции в следующем смысле периодичны:
             sh(x + 2πi) = sh x,                   ch(x + 2πi) = ch x,
             th(x + πi) = th x,                    ctg(x + πi) = cth x.
Решение уравнений в комплексных числах. В 1799 году Карл Фридрих
Гаусс доказал следующий фундаментальный результат:
  Теорема 6 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида
               an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 = 0,   an 6= 0,     (10)
где a0 , . . . , an — комплексные числа, имеет ровно n комплексных корней, если
каждый корень считать с учётом его кратности.
  Например, квадратные уравнения всегда имеют два корня (возможно, сов-
падающие), кубические — три и т.д.
Вычисление корней. Рассмотрим уравнение
                                   z n = x + iy.
Его решения — корни n-й степени из числа, стоящего в правой части. Пред-
ставляя это число в тригонометрической форме и используя формулу Муавра,
получаем n различных корней
                                              
              √       ϕ +  2πk         ϕ + 2πk
         zk = n ρ cos          + i sin           , k = 0, 1, . . . , n − 1,
                          n               n
    √
где n ρ — арифметическое значение корня. Таким образом, каждое комплекс-
ное (и, в частности, действительное!) число имеет, не равное нулю, n различ-
ных корней степени n. Например, корнями 4-й степени из единицы являются
числа
                                 1, i, −1, −i.
   Выпишем выражение для квадратного корня из комплексного числа p+iq,
не используя формулу Муавра. Пусть z = x+iy — такое число, что z 2 = p+iq.
Тогда
                       x2 − y 2 = p,    2xy = q.                      (11)
                      q
Следовательно, y =   2p   и, значит,
                                       q2
                                       2
                                   x − 2 = p,
                                      4x
то есть
                               4x4 − 4px2 − q 2 = 0.

Страницы