Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§22. Кольцо полиномов 105
Благодаря соотношениям (14) кольцо многочленов «похоже» на кольцо це-
лых чисел и обладает многими его свойствами
Предложение 6. Пус т ь M(x) и N(x) — многочлены и N(x) 6≡ 0 . Тогда
существует единственная пара таких многочленов Q(x) и R(x), что
M(x) = Q(x)N(x) + R(x), 0 6 deg R(x) < deg N(x). (15)
Многочлен Q(x) называется (неполным) частным от деления многочле-
на M(x) на многочлен N(x), а R(x) — остатком. Если R( x) ≡ 0, то говорят,
что M(x) делится на N(x) (или кратен N(x)). В этом случае N(x) называ-
ется делителем многочлена M(x), а неполное частное — просто частным.
Теорема 8 (теорема Безу). Остаток от деления любого многочлена M(x)
на многочлен N(x) = x − c, c ∈ R, равен значению M(x) при x = c. В
частности, M(x) делится на x − c тогда и т о лько тогда, когда M(c) = 0.
Мы будем говорить, что c — корень многочлена M(x), если M(c) = 0 .
Замечание. Как и в кольце целых чисел, в кольце многочленов выпол-
няется алгоритм Евклида (ср. с теоремой 4). Для них также м ожно опреде-
лить понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
(см. о преде ление 14).
Роль простых чисел в кольце многочленов играют неразложимые много-
члены.
Определение 18. Многочлен P (x) называется неразложимым, если е го
степень положительна (deg P (x) > 0) и его нельзя представить в виде
P (x) = S(x)Q(x), deg S(x) > 0, deg Q(x) > 0.
Из о сновной теоремы алгебры (теоре м а 6) и теоремы Безу (теорема 8)
следует, что любой многочлен степени n однозначно представляется в виде
P (x) = a
n
(x − c
1
)
n
1
(x − c
2
)
n
2
. . . (x −c
k
)
n
k
, (16)
где c
1
< . . . < c
k
— различные комплексные корни уравнения P (x) = 0,
а n
1
, . . . , n
k
, n
i
6= 0, — натуральные числа, называемые кратностями этих
корней. При этом представление (16) единственно. Таким образом, справед-
лив следующий результат.
Предложение 7 . Над полем ко м плексных чисел неразложимыми явля-
ются многочлены первой степени и только они.
Если же мы хотим оставаться в нутри поля действительных чисел, то есть
не рассматривать комплекс ные ко рни, то в этом случае предложение 7 ста-
новится неверным и результат более сложен. Действительно, заметим следу-
ющее. Пусть P (x) ∈ R[x] — многочлен с действительными коэффициентами
§22. Кольцо полиномов                                                      105

  Благодаря соотношениям (14) кольцо многочленов «похоже» на кольцо це-
лых чисел и обладает многими его свойствами
  Предложение 6. Пусть M(x) и N (x) — многочлены и N (x) 6≡ 0. Тогда
существует единственная пара таких многочленов Q(x) и R(x), что
          M(x) = Q(x)N (x) + R(x),             0 6 deg R(x) < deg N (x).   (15)
   Многочлен Q(x) называется (неполным) частным от деления многочле-
на M(x) на многочлен N (x), а R(x) — остатком. Если R(x) ≡ 0, то говорят,
что M(x) делится на N (x) (или кратен N (x)). В этом случае N (x) называ-
ется делителем многочлена M(x), а неполное частное — просто частным.
   Теорема 8 (теорема Безу). Остаток от деления любого многочлена M(x)
на многочлен N (x) = x − c, c ∈ R, равен значению M(x) при x = c. В
частности, M(x) делится на x − c тогда и только тогда, когда M(c) = 0.
  Мы будем говорить, что c — корень многочлена M(x), если M(c) = 0.
   Замечание. Как и в кольце целых чисел, в кольце многочленов выпол-
няется алгоритм Евклида (ср. с теоремой 4). Для них также можно опреде-
лить понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
(см. определение 14).
   Роль простых чисел в кольце многочленов играют неразложимые много-
члены.
   Определение 18. Многочлен P (x) называется неразложимым, если его
степень положительна (deg P (x) > 0) и его нельзя представить в виде
             P (x) = S(x)Q(x),        deg S(x) > 0,       deg Q(x) > 0.
   Из основной теоремы алгебры (теорема 6) и теоремы Безу (теорема 8)
следует, что любой многочлен степени n однозначно представляется в виде
                 P (x) = an (x − c1 )n1 (x − c2 )n2 . . . (x − ck )nk ,    (16)
где c1 < . . . < ck — различные комплексные корни уравнения P (x) = 0,
а n1, . . . , nk , ni 6= 0, — натуральные числа, называемые кратностями этих
корней. При этом представление (16) единственно. Таким образом, справед-
лив следующий результат.
  Предложение 7. Над полем комплексных чисел неразложимыми явля-
ются многочлены первой степени и только они.
   Если же мы хотим оставаться внутри поля действительных чисел, то есть
не рассматривать комплексные корни, то в этом случае предложение 7 ста-
новится неверным и результат более сложен. Действительно, заметим следу-
ющее. Пусть P (x) ∈ R[x] — многочлен с действительными коэффициентами

Страницы