Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

106 §22. Кольцо полиномов
и c — его (комплексный) корень. Тогда число ¯c, комплексно-сопряжённое с c,
также является его корнем. О тсюда следует описание неразложимых много-
членов над полем дейс т в ительных чисел.
Теорема 9. В кольце R[x] неразложимыми являются многочлены первой
степени, а также квадратные т рё хчлены αx
2
+ βx + γ, для которых D =
= β
2
− 4αγ < 0. При этом любой многочлен разлагается в произведение
неприводимых:
P (x) = a
n
(x − c
1
)
n
1
. . . (x −c
k
)
n
k
(x
2
+ p
1
x + q
1
)
m
1
. . . (x
2
+ p
s
x + q
s
)
m
s
, (17)
где все сомножители попарно различны, p
2
i
− 4q
i
< 0, c
j
— различные дей-
ствительные корни многочлена P (x) и
deg P (x) = n
1
+ . . . + n
k
+ 2(m
1
+ . . . + m
s
).
Факторкольца. Пусть P (x) ∈ R[x] . Рассмотрим множество
(P ) = {Q(x) P (x) | Q(x) ∈ R[x] } ⊂ R[x].
Предложение 8. Множество (P ) является идеалом кольца R[x]. Более
того, любой идеал этого кольца имеет вид (P ) для некоторого многочле-
на P (x) ∈ R[x].
Следовательно, для любого P (x) ∈ R[x] можно рассмотреть факторколь-
цо R[x]/(P ).
Предложение 9. Пусть P(x) ∈ R[x]. Тогда:
1) если P (x) = αx+β, α 6= 0, то факторкольцо R[x]/(P ) изоморфно полю
действительных чисел R;
2) если P (x) = αx
2
+ βx + γ, α 6= 0 и D = β
2
− 4αγ < 0, то факторколь-
цо R[x]/(P ) изоморфно полю комплексных чисел C;
3) если P (x) = αx
2
+ βx + γ, α 6= 0 и D = β
2
− 4αγ > 0, то факторколь-
цо R[x]/(P ) является некоторым кольцом с делителями нуля.
Чтобы описать умножение в кольце R[x]/(P ), где P (x) = αx
2
+ βx + γ,
заметим, что любой элемент L ∈ R[x]/(P ) однозначно представляется в виде
L = ax + b, a, b ∈ R.
Чтобы перемножить два элеме нта L
1
и L
2
, нужно перемножить их как
многочлены, а потом вычислить остаток от деления результата на P (x) =
= αx
2
+ βx + γ. Поэтому
(a
1
x + b
1
)(a
2
x + b
2
) =
a
1
b
2
+ a
2
b
1
−
β
α
a
1
a
2
x +
b
1
b
2
−
γ
α
a
1
a
2
(18)
в факторкольце R[x]/( P ).
106                                                           §22. Кольцо полиномов

и c — его (комплексный) корень. Тогда число c̄, комплексно-сопряжённое с c,
также является его корнем. Отсюда следует описание неразложимых много-
членов над полем действительных чисел.
   Теорема 9. В кольце R[x] неразложимыми являются многочлены первой
степени, а также квадратные трёхчлены αx2 + βx + γ, для которых D =
= β 2 − 4αγ < 0. При этом любой многочлен разлагается в произведение
неприводимых:
 P (x) = an (x − c1 )n1 . . . (x − ck )nk (x2 + p1x + q1 )m1 . . . (x2 + psx + qs )ms , (17)
где все сомножители попарно различны, p2i − 4qi < 0, cj — различные дей-
ствительные корни многочлена P (x) и
                  deg P (x) = n1 + . . . + nk + 2(m1 + . . . + ms ).

Факторкольца. Пусть P (x) ∈ R[x]. Рассмотрим множество
                    (P ) = { Q(x)P (x) | Q(x) ∈ R[x] } ⊂ R[x].
   Предложение 8. Множество (P ) является идеалом кольца R[x]. Более
того, любой идеал этого кольца имеет вид (P ) для некоторого многочле-
на P (x) ∈ R[x].
   Следовательно, для любого P (x) ∈ R[x] можно рассмотреть факторколь-
цо R[x]/(P ).
  Предложение 9. Пусть P (x) ∈ R[x]. Тогда:
  1) если P (x) = αx + β, α 6= 0, то факторкольцо R[x]/(P ) изоморфно полю
     действительных чисел R;
  2) если P (x) = αx2 + βx + γ, α 6= 0 и D = β 2 − 4αγ < 0, то факторколь-
     цо R[x]/(P ) изоморфно полю комплексных чисел C;
  3) если P (x) = αx2 + βx + γ, α 6= 0 и D = β 2 − 4αγ > 0, то факторколь-
     цо R[x]/(P ) является некоторым кольцом с делителями нуля.
   Чтобы описать умножение в кольце R[x]/(P ), где P (x) = αx2 + βx + γ,
заметим, что любой элемент L ∈ R[x]/(P ) однозначно представляется в виде
                                L = ax + b,     a, b ∈ R.
Чтобы перемножить два элемента L1 и L2, нужно перемножить их как
многочлены, а потом вычислить остаток от деления результата на P (x) =
= αx2 + βx + γ. Поэтому
                                           β               γ      
    (a1 x + b1)(a2x + b2 ) = a1 b2 + a2 b1 − a1 a2 x + b1 b2 − a1 a2   (18)
                                            α                 α
в факторкольце R[x]/(P ).

Страницы