Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

108 §23. Образцы решения задач
Задача 4. Даны числа 121 и 11 в двоичной системе счисления. Вычислить
их сумму, разность, произведение и частное и переве сти результат в десятич-
ную систему.
Решение. В троичной системе таблицы сложения и умножения выглядят
следующим образом:
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 10
2 2 10 11
,
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 11
.
Поэтому 121 + 11 = 202 = 20
10
, 1 21 −11 = 110 = 12
10
, 1 21 ·11 = 2 101 = 64
10
,
121 : 11 = 11 = 4
10
.
Ответ: 121
3
+ 11
3
= 202
3
= 20
10
, 121
3
− 11
3
= 110
3
= 12
10
, 121
3
· 11
3
=
2101
3
= 64
10
, 121
3
: 11
3
= 11
3
= 4
10
.
Задача 5. Выписать таблицы сложения и умножения в кольце вычетов Z
6
и указать пары делителей нуля в этом кольце.
Решение. П о скольку кольцо Z
8
образовано остатками от деления на 6, име-
ем
+ 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 0
2 2 3 4 5 6 7 0 1
3 3 4 5 6 7 0 1 2
4 4 5 6 7 0 1 2 3
5 5 6 7 0 1 2 3 4
6 6 7 0 1 2 3 4 5
7 7 0 1 2 3 4 5 6
,
× 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7
2 0 2 4 6 0 2 4 6
3 0 3 6 1 4 7 2 5
4 0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 5 2 7 4 1 6 3
6 0 6 4 2 0 6 4 2
7 0 7 6 5 4 3 2 1
.
Из второй таблицы следует, что числа (2, 4), (4, 4) и (4, 6) образуют пары
делителей нуля.
Ответ: (2, 4), (4, 4) и (4 , 6).
Задача 6. Указать элементы, обратные к ненулевым в поле Z
5
.
Решение. П о ле Z
5
образовано остатками от деления на 5. Поэтому эле-
ментом, обратным к некот о рому элементу a ∈ Z
5
, является такое число b,
1 6 b 6 4, что a · b = 5k + 1, k ∈ Z. Имее м
1 ·1 = 5 · 0 + 1, 2 · 3 = 5 ·1 + 1, 4 · 4 = 5 ·3 + 1,
что исчерпывает все элементы рассматриваемого поля.
Ответ: 1
−1
= 1, 2
−1
= 3, 3
−1
= 2, 4
−1
= 4.
108                                                     §23. Образцы решения задач

   Задача 4. Даны числа 121 и 11 в двоичной системе счисления. Вычислить
их сумму, разность, произведение и частное и перевести результат в десятич-
ную систему.
   Решение. В троичной системе таблицы сложения и умножения выглядят
следующим образом:
                   + 0 1 2                × 0 1 2
                    0 0 1 2                0 0 0 0
                                   ,                      .
                    1 1 2 10               1 0 1 2
                    2 2 10 11              2 0 2 11
Поэтому 121 + 11 = 202 = 2010, 121 − 11 = 110 = 1210, 121 · 11 = 2101 = 6410,
121 : 11 = 11 = 410.                                                       
   Ответ: 1213 + 113 = 2023 = 2010, 1213 − 113 = 1103 = 1210, 1213 · 113 =
21013 = 6410, 1213 : 113 = 113 = 410.
   Задача 5. Выписать таблицы сложения и умножения в кольце вычетов Z6
и указать пары делителей нуля в этом кольце.
     Решение. Поскольку кольцо Z8 образовано остатками от деления на 6, име-
ем
        + 0 1 2 3 4 5 6 7               × 0 1 2 3 4 5 6 7
        0 0 1 2 3 4 5 6 7                0 0 0 0 0 0 0 0 0
        1 1 2 3 4 5 6 7 0                1 0 1 2 3 4 5 6 7
        2 2 3 4 5 6 7 0 1                2 0 2 4 6 0 2 4 6
        3 3 4 5 6 7 0 1 2 ,              3 0 3 6 1 4 7 2 5 .
        4 4 5 6 7 0 1 2 3                4 0 4 0 4 0 4 0 4
        5 5 6 7 0 1 2 3 4                5 0 5 2 7 4 1 6 3
        6 6 7 0 1 2 3 4 5                6 0 6 4 2 0 6 4 2
        7 7 0 1 2 3 4 5 6                7 0 7 6 5 4 3 2 1
Из второй таблицы следует, что числа (2, 4), (4, 4) и (4, 6) образуют пары
делителей нуля.                                                          
   Ответ: (2, 4), (4, 4) и (4, 6).
     Задача 6. Указать элементы, обратные к ненулевым в поле Z5 .
   Решение. Поле Z5 образовано остатками от деления на 5. Поэтому эле-
ментом, обратным к некоторому элементу a ∈ Z5, является такое число b,
1 6 b 6 4, что a · b = 5k + 1, k ∈ Z. Имеем
              1 · 1 = 5 · 0 + 1,   2 · 3 = 5 · 1 + 1,    4 · 4 = 5 · 3 + 1,
что исчерпывает все элементы рассматриваемого поля.                             
   Ответ: 1−1 = 1, 2−1 = 3, 3−1 = 2, 4−1 = 4.

Страницы