Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

110 Вопросы для самопроверки
откуда следует, что ϕ
1,2
= ±
3π
4
. Итак,
x
1,2
=
√
2
(cos
3π
4
+ sin
±
3π
4

=
√
2e
±
3π
4
.
Ответ: x
1,2
= −1 ± i =
√
2
(cos
3π
4
+ sin
±
3π
4

=
√
2e
±
3π
4
.
Задача 9. Ра зделить с остатком многочлен P (x) = x
2
+ 2x − 12 на мно-
гочлен Q(x) = x + 5.
Решение. Алгоритм деления многочленов такой же как и алгоритм деле-
ния десятичных дробей — «в столбик». Поэтому имеем
x
2
+ 2x −12 x + 5
x
2
+ 5x x − 3
− 3x − 12
− 3x − 15
3,
т.е. x
2
+ 2x −12 = (x + 5)(x − 3) + 3.
Ответ: x
2
+ 2x − 12 = (x + 5)(x − 3) + 3, где x − 3 — неполное час тное,
а 3 — остаток.
Задача 10. Перемножить элементы 2x + 3 и 3x + 2 в факторколь-
це R[x]/(x
2
+ 1).
Решение. По определению умножения в факторкольце произведение двух
многочленов есть остаток от деления их «настоящего» произведения на x
2
+1.
Значит,
(2x + 3 )(3x + 2) = 6x
2
+ 13x + 6 = (x
2
+ 1) (6x + 7) − 1
и (2x + 3) · (3x + 2) = −1.
Ответ: (2x + 3) · (3x + 2) = −1 в факторкольце R[x]/(x
2
+ 1).
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение группы. Какие группы называются абелевыми?
2. Приведите известные вам примеры групп.
3. Что такое гомоморфизм групп? Приведите примеры.
4. Что такое изоморфные группы?
5. Дайте определение кольца. Приведите примеры.
6. Какие кольца называются ассоциативными и коммутативными?
7. Что такое гомоморфизм колец?
8. Дайте определение ядра и образ а гомоморфизма.
110                                                         Вопросы для самопроверки

откуда следует, что ϕ1,2 = ± 3π
                              4 . Итак,
                                             
                    √             3π          3π     √   3π
              x1,2 = 2 (cos           + sin ±       = 2e± 4 .
                                   4           4
                            √                                         √               
                                        3π                                    ± 3π
  Ответ: x1,2     = −1 ± i = 2 (cos      4
                                                 + sin   ± 3π
                                                            4
                                                                     =       2e  4   .
   Задача 9. Разделить с остатком многочлен P (x) = x2 + 2x − 12 на мно-
гочлен Q(x) = x + 5.
  Решение. Алгоритм деления многочленов такой же как и алгоритм деле-
ния десятичных дробей — «в столбик». Поэтому имеем
                                 x2 + 2x − 12 x + 5
                                 x2 + 5x       x−3
                                    − 3x − 12
                                    − 3x − 15
                                            3,
т.е. x2 + 2x − 12 = (x + 5)(x − 3) + 3.                                 
             2
    Ответ: x + 2x − 12 = (x + 5)(x − 3) + 3, где x − 3 — неполное частное,
а 3 — остаток.
   Задача 10. Перемножить элементы 2x + 3 и 3x + 2 в факторколь-
це R[x]/(x2 + 1).
  Решение. По определению умножения в факторкольце произведение двух
многочленов есть остаток от деления их «настоящего» произведения на x2 +1.
Значит,
               (2x + 3)(3x + 2) = 6x2 + 13x + 6 = (x2 + 1)(6x + 7) − 1
и (2x + 3) · (3x + 2) = −1.                                                              
   Ответ: (2x + 3) · (3x + 2) = −1 в факторкольце R[x]/(x2 + 1).

Вопросы для самопроверки
      1.   Дайте определение группы. Какие группы называются абелевыми?
      2.   Приведите известные вам примеры групп.
      3.   Что такое гомоморфизм групп? Приведите примеры.
      4.   Что такое изоморфные группы?
      5.   Дайте определение кольца. Приведите примеры.
      6.   Какие кольца называются ассоциативными и коммутативными?
      7.   Что такое гомоморфизм колец?
      8.   Дайте определение ядра и образа гомоморфизма.

Страницы