Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§23. Образцы решения задач 109
Задача 7. Даны комплексные числа z
1
= 1 + i, z
2
= 2 − 3i. Вычислить
величины ¯z
1
, ¯z
2
, z
1
± z
2
, z
1
z
2
,
z
1
z
2
.
Решение. По определению
¯z
1
= 1 + i = 1 −i, ¯z
1
= 2 − 3i = 2 + 3i.
Имеем
z
1
+ z
2
= (1 + i) + (2 −3i) = 1 + 2 + (1 − 3)i = 3 − 2i,
z
1
− z
2
= (1 + i) − ( 2 − 3i) = 1 − 2 + (1 + 3 ) i = −1 + 4i.
Далее,
z
1
z
2
= (1 + i)(2 − 3i) = 1 · 2 − 1 · 3i + 2i − 3i
2
= 2 + 3 + (2 − 1)i = 5 + i.
Наконец,
z
1
z
2
=
z
1
¯z
2
z
2
¯z
2
=
(1 + i)(2 + 3i)
(2 − 3i)(2 + 3i)
=
1 − 3 + (2 + 3)i
2
2
+ 3
2
= −
2
13
+
5
13
i.
Ответ: ¯z
1
= 1 −i, ¯z
1
= 2 +3i, z
1
+z
2
= 3 −2i, z
1
−z
2
= −1 +4i, z
1
z
2
= 5 +i,
z
1
z
2
= −
2
13
+
5
13
i.
Задача 8. Решить квадратное уравнение
x
2
+ 2x + 2 = 0
и представить его решения в алге б раической, тригонометрической и показа-
тельной формах.
Решение. Имеем
x
1,2
=
−2 ±
p
(−2)
2
− 4 · 2
2
=
−2 ±
√
−4
2
= −1 ± i.
По определению модуля комплексного числа получаем
|x
1
| = |x
2
| =
p
(−1)
2
+ (±1)
2
=
√
2.
Таким образом,
x
1,2
=
√
2
−
√
2
2
±
√
2
2
i
!
.
Главное з начение аргумента полученных реш ений находится из условий
cos ϕ
1,2
= −
√
2
2
, sin ϕ
1,2
= ±
√
2
2
, −π < ϕ 6 π,
§23. Образцы решения задач                                                            109

   Задача 7. Даны комплексные числа z1 = 1 + i, z2 = 2 − 3i. Вычислить
величины z̄1 , z̄2 , z1 ± z2 , z1 z2 , zz12 .
     Решение. По определению
                       z̄1 = 1 + i = 1 − i,      z̄1 = 2 − 3i = 2 + 3i.
Имеем
               z1 + z2 = (1 + i) + (2 − 3i) = 1 + 2 + (1 − 3)i = 3 − 2i,
              z1 − z2 = (1 + i) − (2 − 3i) = 1 − 2 + (1 + 3)i = −1 + 4i.
Далее,
     z1 z2 = (1 + i)(2 − 3i) = 1 · 2 − 1 · 3i + 2i − 3i2 = 2 + 3 + (2 − 1)i = 5 + i.
Наконец,
           z1   z1 z̄2    (1 + i)(2 + 3i)   1 − 3 + (2 + 3)i      2   5
              =        =                  =                  = −    +   i.
           z2   z2 z̄2   (2 − 3i)(2 + 3i)       22 + 32          13 13
                                                                                       
     Ответ: z̄1 = 1 − i, z̄1 = 2 + 3i, z1 + z2 = 3 − 2i, z1 − z2 = −1 + 4i, z1 z2 = 5 + i,
z1       2    5
z2   = − 13 + 13 i.
     Задача 8. Решить квадратное уравнение
                                     x2 + 2x + 2 = 0
и представить его решения в алгебраической, тригонометрической и показа-
тельной формах.
     Решение. Имеем
                        p                     √
                           (−2)2 − 4 · 2 −2 ± −4
                        −2 ±
            x1,2 =                      =         = −1 ± i.
                            2                2
По определению модуля комплексного числа получаем
                                 p               √
                   |x1| = |x2 | = (−1)2 + (±1)2 = 2.
Таким образом,
                                                 √    √ !
                                        √       − 2     2
                               x1,2 =       2       ±     i .
                                                 2     2
Главное значение аргумента полученных решений находится из условий
                        √              √
                          2              2
            cos ϕ1,2 = − , sin ϕ1,2 = ± ,      −π < ϕ 6 π,
                         2              2

Страницы