Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§23. Образцы решения задач 107
§23. Образцы решения задач
Задача 1. Разложить числа 504 и 1188 на простые множители и найти их
НОД и НОК.
Решение. Поскольку
504 = 2 · 252 = 2 · 2 · 1 26 = 2 · 2 · 2 · 63 = 2 · 2 · 2 · 3 · 21 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7
и
1188 = 2 · 594 = 2 · 2 · 297 = 2 · 2 · 3 · 9 9 = 2 · 2 · 3 · 3 · 332 · 2 · 3 · 3 · 3 · 11,
т.е.
504 = 2
3
· 3
2
· 7
1
· 11
0
, 1188 = 2
2
· 3
3
· 7
0
· 11
1
и, значит, НОД(504, 1188) = 2
2
· 3
2
· 7
0
· 11
0
= 36, а НОК(504, 1188) = 2
3
· 3
3
·
· 7
1
· 11
1
= 16632 .
Ответ: 504 = 2
3
· 3
2
· 7, 1188 = 2
2
· 3
3
· 11, НОД(504, 1188) = 36,
НОК(504, 1188) = 16632.
Задача 2. Пере в ести число 37 из десятичной в двоичную и троичную си-
стемы счисления.
Решение. Имеем
37 = 2·18+1 = 2
2
·9+1 = 2
2
(2
3
+1)+1 = 1·2
5
+0·2
4
+0·2
3
+1·2
2
+0·2
1
+1·2
0
,
т.е. 37
10
= 100101
2
. Аналогично,
37 = 3 · 1 2 + 1 = 3
2
(3 + 1) + 1 = 1 · 3
3
+ 1 · 3
2
+ 0 · 3
1
+ 1 · 3
0
,
т.е. 37
10
= 1001
3
.
Ответ: 37
10
= 100101
2
, 37
10
= 1001
3
.
Задача 3. Даны числа 10010 и 11 в двоичной системе счисления. Вы-
числить их сумму, разность, произведение и частное и пе ревести результат в
десятичную систему.
Решение. Арифметические операции во всех системах счисления выполня-
ются по общей схеме — «в столбик». Различаются только таблицы умножения
и сложения. В двоичной системы эти таблицы таковы:
+ 0 1
0 0 1
1 1 10
,
× 0 1
0 0 0
1 0 1
.
Поэтому 10010 + 11 = 10101 = 21
10
, 10010 − 11 = 1111 = 15
10
, 1 0010 · 11 =
= 110110 = 54
10
, 10010 : 11 = 110 = 6
10
.
Ответ: 10010
2
+ 11
2
= 10101
2
= 21
10
, 10010
2
−11
2
= 1111
2
= 15
10
, 10010
2
·
· 11
2
= 110110
2
= 54
10
, 10010
2
: 11
2
= 110
2
= 6
10
.
§23. Образцы решения задач                                                                  107

§23. Образцы решения задач
  Задача 1. Разложить числа 504 и 1188 на простые множители и найти их
НОД и НОК.
    Решение. Поскольку
    504 = 2 · 252 = 2 · 2 · 126 = 2 · 2 · 2 · 63 = 2 · 2 · 2 · 3 · 21 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7
и
    1188 = 2 · 594 = 2 · 2 · 297 = 2 · 2 · 3 · 99 = 2 · 2 · 3 · 3 · 332 · 2 · 3 · 3 · 3 · 11,
т.е.
                  504 = 23 · 32 · 71 · 110, 1188 = 22 · 33 · 70 · 111
и, значит, НОД(504, 1188) = 22 · 32 · 70 · 110 = 36, а НОК(504, 1188) = 23 · 33 ·
· 71 · 111 = 16632.                                                           
                       3    2                 2   3
    Ответ: 504 = 2 · 3 · 7, 1188 = 2 · 3 · 11, НОД(504, 1188) = 36,
НОК(504, 1188) = 16632.
   Задача 2. Перевести число 37 из десятичной в двоичную и троичную си-
стемы счисления.
    Решение. Имеем
37 = 2·18+1 = 22 ·9+1 = 22(23 +1)+1 = 1·25 +0·24 +0·23 +1·22 +0·21 +1·20 ,
т.е. 3710 = 1001012. Аналогично,
           37 = 3 · 12 + 1 = 32(3 + 1) + 1 = 1 · 33 + 1 · 32 + 0 · 31 + 1 · 30,
т.е. 3710 = 10013.                                                                              
    Ответ: 3710 = 1001012, 3710 = 10013.
   Задача 3. Даны числа 10010 и 11 в двоичной системе счисления. Вы-
числить их сумму, разность, произведение и частное и перевести результат в
десятичную систему.
    Решение. Арифметические операции во всех системах счисления выполня-
ются по общей схеме — «в столбик». Различаются только таблицы умножения
и сложения. В двоичной системы эти таблицы таковы:
                         + 0 1               × 0 1
                         0 0 1 ,              0 0 0 .
                         1 1 10               1 0 1
Поэтому 10010 + 11 = 10101 = 2110, 10010 − 11 = 1111 = 1510, 10010 · 11 =
= 110110 = 5410, 10010 : 11 = 110 = 610.                                   
    Ответ: 100102 + 112 = 101012 = 2110, 100102 − 112 = 11112 = 1510, 100102 ·
· 112 = 1101102 = 5410, 100102 : 112 = 1102 = 610.

Страницы