Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. Множества 11
Предложение 2 (свойства теоретико-множественных операций). Пред-
положим, что A, B и C — множества, и будем считать, что все они являются
подмножест в а м и некоторого множества U. Тогда справедливы равенств а:
A ∪ B = B ∪ A, (2)
A ∪ (B ∪ A) = (A ∪ B) ∪ A, (3)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩(A ∪ C), (4)
A ∪ ∅ = A, (5)
A ∪ A = U, (6)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩C, (7)
A ∩ B = B ∩ A, (8)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪(A ∩ C), (9)
A ∩ U = A, (10)
A ∩ A = ∅, (11)
A ∪ U = U, (12)
A ∩ ∅ = ∅, (13)
а также
A ∪ B = A ∩ B, (14)
A ∩ B = A ∪ B (15)
и
(A) = A. (16)
Равенства (14) и (15) называются законами двойственности (или прави-
лами де Моргана).
Связь с логикой. Операции над множествами соответствуют тем логиче-
ским законам, которым, как правило, подчиняются разумные рассуждения,
используемые в обыденной жизни
3
. Математичес кие модели (схемы) этих рас-
суждений изучает математическая логика — специальный раздел матема-
тики, — для нас же в данном случае будут полезны обоз начения, ис польз уе-
мые в логике, их т о лкование и связь с теорией множеств. Операции, которые
обсуждаются ниже, совершаются над высказываниями, то ес т ь некоторыми
утверждениями, которые могут быть либо истинными, либо ложными.
3
Как правило, но не всегда, логика реальной жизни значительно богаче формальной!
§1. Множества                                                                           11

   Предложение 2 (свойства теоретико-множественных операций). Пред-
положим, что A, B и C — множества, и будем считать, что все они являются
подмножествами некоторого множества U. Тогда справедливы равенства:
                                    A ∪ B = B ∪ A,                                      (2)
                             A ∪ (B ∪ A) = (A ∪ B) ∪ A,                                 (3)
                          A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),                              (4)
                                       A ∪ ∅ = A,                                       (5)
                                       A ∪ A = U,                                       (6)
                             A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,                                 (7)
                                   A ∩ B = B ∩ A,                                       (8)
                          A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),                              (9)
                                       A ∩ U = A,                                      (10)
                                       A ∩ A = ∅,                                      (11)
                                       A ∪ U = U,                                      (12)
                                       A ∩ ∅ = ∅,                                      (13)

а также

                                    A ∪ B = A ∩ B,                                     (14)
                                     A∩B =A∪B                                          (15)

и

                                        (A) = A.                                       (16)
  Равенства (14) и (15) называются законами двойственности (или прави-
лами де Моргана).
Связь с логикой. Операции над множествами соответствуют тем логиче-
ским законам, которым, как правило, подчиняются разумные рассуждения,
используемые в обыденной жизни3. Математические модели (схемы) этих рас-
суждений изучает математическая логика — специальный раздел матема-
тики, — для нас же в данном случае будут полезны обозначения, используе-
мые в логике, их толкование и связь с теорией множеств. Операции, которые
обсуждаются ниже, совершаются над высказываниями, то есть некоторыми
утверждениями, которые могут быть либо истинными, либо ложными.
    3Как правило, но не всегда, логика реальной жизни значительно богаче формальной!

Страницы