Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 14 стр.

§1. Множества                                                        13

   Свойства теоретико-множественных операций (2)–(16) соответствующим
образом находят отражение в свойствах высказываний. Например, законы
двойственности (14) и (15) на языке высказываний имеют вид
                         ¬(x ∨ y) ⇔ (¬x) & (¬y)
и
                         ¬(x & y) ⇔ (¬x) ∨ (¬y).

Кванторы. При описании свойств математических объектов часто исполь-
зуют так называемые кванторы. Важнейшими из них являются квантор общ-
ности, обозначаемый символом ∀, и квантор существования, обозначаемый
через ∃. При этом запись
                         ∀a ∈ A (высказывание)
означает, что любой элемент множества A обладает свойствами, описываемы-
ми соответствующим высказыванием, а запись
                         ∃a ∈ A (высказывание)
означает, что существует хотя бы один элемент, обладающий этими свой-
ствами.
   Например, запись
                      ∃M ∈ R : ∀a ∈ A ⊂ R, a 6 M                    (17)
означает, что подмножество действительных чисел A обладает следующим
свойством: существует такое действительное число M, что любое число a из
этого подмножества не превосходит M (иными словами, множество A огра-
ничено сверху).
   Чтобы построить отрицание какой-то записи, содержащей кванторы, нуж-
но ∀ заменить на ∃ и наоборот, а смысл высказываний поменять на противо-
положный. Например, отрицание записи (17) выглядит следующим образом:
                      ∀M ∈ R : ∃a ∈ A ⊂ R, a > M
и выражает тот факт, что множество A нельзя ограничить сверху никаким
числом.
   Наряду с квантором ∃ используется квантор ∃!, означающий единствен-
ность существования чего-то. Например, запись
                   ∀a ∈ R, a > 0, ∃!b ∈ R, b > 0 : b2 = a
выражает существование единственного положительного квадратного корня
из положительного действительного числа.