Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2. Отображения и отношения 15
Множество прообразов элемента b обозначается через f
−1
(b):
f
−1
(b) = {a ∈ A | b = f(a) } ⊂ A.
Если f — отображение из A в B, то пишут f : A → B. Множество всех отоб-
ражений из A в B обозначается через B
A
.
Отображение f : A → B называется отображением на (или сюръекцией),
если f(A) = B, то есть если любой элемент множества A является образом
некоторого э лемента из B:
∀b ∈ B ∃a ∈ A: b = f(a).
Отображение называется вложением (или инъекцией), если прообраз любого
элемента из B содержит не более одного элемента из A:
∀a, a
′
∈ A: f(a) = f (a
′
) ⇒ a = a
′
.
Наконец, ото б ражение f : A → B называется взаимно однозначным соот-
ветствием (или биекцией), если оно одновременно является и инъекцией, и
сюръекцией, то есть е сли любой элемент b ∈ B яв ля ется образом какого-то
элемента a ∈ A, и всякий элемент b ∈ B обладает ровно одним прообразо м .
Пример 1. Пусть K — колода карт, то есть множество всевозможных карт
различной масти и достоинств а. Сопоставим каждой карте её масть. Тем с а -
мым мы определим ото б ражение f : K → S в множество S, заданное запи-
сью (1), поскольку всякая карта обладает единственной мастью. Это отобра-
жение явля ется сюръекцией
5
.
Пример 2. Пусть отображение f : R → R сопоставляет каждому действи-
тельному числу его квадрат. Тогда
f
−1
(y) =
{
√
y, −
√
y}, если y > 0,
{0}, если y = 0,
∅ если y < 0,
и f(R) есть множество всех неотрицательных чисел.
Пример 3. Расс м о т рим действительное число x и сопоставим ем у такое
число y, что
y
2
= x. (18)
Эта ко нс т рукция не задаёт отображения, поскольку, во-первых, квадратный
корень можно извлекать только их неотрицательных чисе л и, во-вторых, при
5
Если часть карт из колоды потеряна, то это отображение может и не быть сюръективным.
§2. Отображения и отношения                                                          15

Множество прообразов элемента b обозначается через f −1(b):
                        f −1(b) = { a ∈ A | b = f (a) } ⊂ A.
Если f — отображение из A в B, то пишут f : A → B. Множество всех отоб-
ражений из A в B обозначается через B A .
   Отображение f : A → B называется отображением на (или сюръекцией),
если f (A) = B, то есть если любой элемент множества A является образом
некоторого элемента из B:
                            ∀b ∈ B ∃a ∈ A : b = f (a).
Отображение называется вложением (или инъекцией), если прообраз любого
элемента из B содержит не более одного элемента из A:
                        ∀a, a′ ∈ A : f (a) = f (a′) ⇒ a = a′ .
Наконец, отображение f : A → B называется взаимно однозначным соот-
ветствием (или биекцией), если оно одновременно является и инъекцией, и
сюръекцией, то есть если любой элемент b ∈ B является образом какого-то
элемента a ∈ A, и всякий элемент b ∈ B обладает ровно одним прообразом.
   Пример 1. Пусть K — колода карт, то есть множество всевозможных карт
различной масти и достоинства. Сопоставим каждой карте её масть. Тем са-
мым мы определим отображение f : K → S в множество S, заданное запи-
сью (1), поскольку всякая карта обладает единственной мастью. Это отобра-
жение является сюръекцией5.
   Пример 2. Пусть отображение f : R → R сопоставляет каждому действи-
тельному числу его квадрат. Тогда
                             √    √
                            { y, − y}, если y > 0,
                            
                   f −1(y) = {0},        если y = 0,
                            
                            
                              ∅          если y < 0,
и f (R) есть множество всех неотрицательных чисел.
  Пример 3. Рассмотрим действительное число x и сопоставим ему такое
число y, что
                              y 2 = x.                          (18)
Эта конструкция не задаёт отображения, поскольку, во-первых, квадратный
корень можно извлекать только их неотрицательных чисел и, во-вторых, при
  5Если часть карт из колоды потеряна, то это отображение может и не быть сюръективным.

Страницы