Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2. Отображения и отношения 17
Определение 1. Декартовым (или прямым) произведением множеств A
и B называется множество
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B },
состоящее из всевозможных упорядоченных пар элементов a ∈ A и b ∈ B.
Отображения pr
A
: A × B → A и pr
B
: A × B → B, задаваемые условиями
pr
A
(a, b) = a, pr
B
(a, b) = b,
называются проекциями на левый и правый сомножители. Аналогичным об-
разом определяется декартово произведение трёх и бо ле е множеств.
Пример 4. Если N — множество различных дос т оинст в карт из колоды,
то есть
N = {2, 3, . . . , 10, В, Д, К, Т},
а S — множество мастей, то N ×S — множество всех карт колоды. Например,
пара (Т, ♠) — э т о туз пик, пара (3 , ♣) обозначает тройку треф и т.п.
Пример 5. Всевозможные прямоуг о льные та б лицы — эт о пря м ые произ-
ведения, в которых одним со м ножителем является множество имён строк,
а вторым — множество имё н столбцов. При этом заполненная таблица яв-
ляется отображением из это го произведения в множество соответствующих
значений.
Пример 6. Если X = [x, x
′
] и Y = [y, y
′
] — отрезки, то X × Y — прямо-
угольник со сто ронами X и Y .
Пример 7. Декартов о произведение R ×R — это плоскость.
Предложение 5. Пусть A и B — множества. Тогда отображение f : A ×
× B → B × A, определённое равенством
f(a, b) = (b, a), a ∈ A, b ∈ B,
является биекцией. Если C — третье множество, то отображение g : (A×B)×
× C → A ×(B × C), определённое равенством
g( (a, b), c) = (a, (b, c)), a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C,
— также биекция.
Пусть A — множество. Рассм о т рим множество A
n
= A ×··· × A
| {z }
n раз
.
Определение 2 . Подмножество R ⊂ A
n
называется n-арным отношени-
ем на множестве A. Говорят, что элементы a
1
, . . . , a
n
связаны отноше нием R,
если
A
n
∋ (a
1
, . . . , a
n
) ∈ R.
§2. Отображения и отношения                                                17

   Определение 1. Декартовым (или прямым) произведением множеств A
и B называется множество
                       A × B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B },
состоящее из всевозможных упорядоченных пар элементов a ∈ A и b ∈ B.
Отображения prA : A × B → A и prB : A × B → B, задаваемые условиями
                         prA (a, b) = a,   prB (a, b) = b,
называются проекциями на левый и правый сомножители. Аналогичным об-
разом определяется декартово произведение трёх и более множеств.
   Пример 4. Если N — множество различных достоинств карт из колоды,
то есть
                      N = {2, 3, . . . , 10, В, Д, К, Т},
а S — множество мастей, то N × S — множество всех карт колоды. Например,
пара (Т, ♠) — это туз пик, пара (3, ♣) обозначает тройку треф и т.п.
   Пример 5. Всевозможные прямоугольные таблицы — это прямые произ-
ведения, в которых одним сомножителем является множество имён строк,
а вторым — множество имён столбцов. При этом заполненная таблица яв-
ляется отображением из этого произведения в множество соответствующих
значений.
   Пример 6. Если X = [x, x′] и Y = [y, y ′ ] — отрезки, то X × Y — прямо-
угольник со сторонами X и Y .
  Пример 7. Декартово произведение R × R — это плоскость.
  Предложение 5. Пусть A и B — множества. Тогда отображение f : A ×
× B → B × A, определённое равенством
                      f (a, b) = (b, a),   a ∈ A,    b ∈ B,
является биекцией. Если C — третье множество, то отображение g : (A × B) ×
× C → A × (B × C), определённое равенством
             g((a, b), c) = (a, (b, c)),   a ∈ A,   b ∈ B,    c ∈ C,
— также биекция.
  Пусть A — множество. Рассмотрим множество An = A
                                                 | × ·{z
                                                       · · × A}.
                                                                n раз

   Определение 2. Подмножество R ⊂ An называется n-арным отношени-
ем на множестве A. Говорят, что элементы a1 , . . . , an связаны отношением R,
если
                          An ∋ (a1 , . . . , an ) ∈ R.

Страницы