Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18 §2. Отображения и отношения
В этом случае пишут
a
1
R. . . Ra
n
. (21)
Иногда отношением называют запись (21), а само множество R называют
графиком этого отнош ения.
Пример 8. Если n = 1, то отношение называет ся унарным. Таким обра-
зом, унарные отношения — это просто подмножества множества A. Например,
свойство карты быть бубной яв ля ется унарным отноше нием , определённым
на колоде карт.
Пример 9. Если n = 2, то отношение называется бинарным. Например,
свойство двух чисел не иметь общих делителей является бинарным отношени-
ем на множестве натуральных чисел. Свойство двух точек прямой находиться
друг от друга на расстоянии не боле е заданного числа ε являет ся бинарным
отношением на множестве действительных чисел.
Пример 10. Пусть f : A → A — отображение множества A в себя. Ему
соответствует бинарное отношение
G
f
= {(a, f(a)) | a ∈ A } ⊂ A × A, (22)
которое называется графиком отображения f.
Пример 11. Если n = 3, то отношение называется тернарным. Например,
свойство трёх точек быть вершинами равностороннег о треугольника — тер-
нарное отношение на плоскости. Свойство трёх человек быть отцом, матерью
и ребё нком является тернарным от ношением на множе стве всех людей.
Рассмотрим два важных типа бинарных отношений.
Отношения эквивалентности. Рассмотрим множество A.
Определение 3. Бинарное от нош ение R ⊂ A ×A называется отношени-
ем эквивалентности, если оно обладает сле дующими свойствами:
рефлексивность: aRa, (23)
симметричность: aRb ⇒ bRa, (24)
транзитивность: aRb & bRc ⇒ aRc (25)
для любых элементов a, b, c ∈ A.
Очень часто отноше ния эквивалентности обозначают символом ∼. В этом
случае свойств а (23)—(25) перепишутся в виде:
рефлексивность: a ∼ a,
симметричность: a ∼ b ⇒ b ∼ a,
транзитивность: a ∼ b & b ∼ c ⇒ a ∼ c.
18                                                  §2. Отображения и отношения

В этом случае пишут
                                 a1 R . . . Ran .                          (21)
   Иногда отношением называют запись (21), а само множество R называют
графиком этого отношения.
   Пример 8. Если n = 1, то отношение называется унарным. Таким обра-
зом, унарные отношения — это просто подмножества множества A. Например,
свойство карты быть бубной является унарным отношением, определённым
на колоде карт.
   Пример 9. Если n = 2, то отношение называется бинарным. Например,
свойство двух чисел не иметь общих делителей является бинарным отношени-
ем на множестве натуральных чисел. Свойство двух точек прямой находиться
друг от друга на расстоянии не более заданного числа ε является бинарным
отношением на множестве действительных чисел.
   Пример 10. Пусть f : A → A — отображение множества A в себя. Ему
соответствует бинарное отношение
                      Gf = { (a, f (a)) | a ∈ A } ⊂ A × A,                 (22)
которое называется графиком отображения f .
   Пример 11. Если n = 3, то отношение называется тернарным. Например,
свойство трёх точек быть вершинами равностороннего треугольника — тер-
нарное отношение на плоскости. Свойство трёх человек быть отцом, матерью
и ребёнком является тернарным отношением на множестве всех людей.
     Рассмотрим два важных типа бинарных отношений.
Отношения эквивалентности. Рассмотрим множество A.
  Определение 3. Бинарное отношение R ⊂ A × A называется отношени-
ем эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:
              рефлексивность:                   aRa,                       (23)
              симметричность:                   aRb ⇒ bRa,                 (24)
              транзитивность:                   aRb & bRc ⇒ aRc            (25)
для любых элементов a, b, c ∈ A.
   Очень часто отношения эквивалентности обозначают символом ∼. В этом
случае свойства (23)—(25) перепишутся в виде:
             рефлексивность:                 a ∼ a,
             симметричность:                 a ∼ b ⇒ b ∼ a,
             транзитивность:                 a ∼ b & b ∼ c ⇒ a ∼ c.

Страницы