Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20 §2. Отображения и отношения
антисимметричность: aRb & bRa ⇒ a = b. (28)
Если множество снабжено отношением порядка, оно называется упорядочен-
ным. Если отношение порядка обладает дополнительным свойст в ом
∀a, b ∈ A: aRb ∨ bRa, (29)
то множество называе т ся линейно упорядоченным.
Отношение порядка часто обо значает ся символом 6. В этом случае свой-
ства (26)—(28) перепишутся в виде:
рефлексивность: a 6 a,
транзитивность: a 6 b & b 6 c ⇒ a 6 c,
антисимметричность: a 6 b & b 6 a ⇒ a = b,
а с в о йство (29) — в виде
∀a, b ∈ A : a 6 b ∨ b 6 a.
Пример 18. Отношение «меньше или равно» является отношением линей-
ного порядка на множестве натуральных (а также це лых, рациональных и
действительных) чисе л.
Пример 19. Свойство множества быть подмножеством другого определя-
ет отношение порядка на множе стве 2
A
, где A — какое-то множество. Этот
порядок не является линейным.
Пример 20 (лексикографический порядок). Пус т ь A — какой-то алфавит
(например, кириллический или латинский), то есть конечное и линейно упо-
рядоченное множество букв. Тогда множество слов, записанных в этом алфа-
вите тоже линейно упорядочено (как это сделано в словарях). Этот порядок
слов называется лексикографическим.
Кардинальные числа. В примере 17 было введено понятие кардинального
числа как класса эквивалентности равномощных множеств. Поскольку, по
определению, все множества с данным кардинальным числом имеют одну и ту
же мощность, понятие ка рдинального числа и понятие мощности — э т о одно
и то же. Кардинальное число множества A (или ег о мощность) обозначается
через |A| (иногда через #(A)).
Пример 21. Пусть T — множество, состояще е из двух элементов. Тогда
множество подмножеств любого множества A равномощно множеству T
A
, со-
стоящему из всевозм ожных отображений из A в T .
Мощности множеств можно сравнивать.
20                                             §2. Отображения и отношения

            антисимметричность:               aRb & bRa ⇒ a = b.      (28)
Если множество снабжено отношением порядка, оно называется упорядочен-
ным. Если отношение порядка обладает дополнительным свойством
                            ∀a, b ∈ A : aRb ∨ bRa,                    (29)
то множество называется линейно упорядоченным.
   Отношение порядка часто обозначается символом 6. В этом случае свой-
ства (26)—(28) перепишутся в виде:
            рефлексивность:                  a 6 a,
            транзитивность:                  a 6 b & b 6 c ⇒ a 6 c,
            антисимметричность:              a 6 b & b 6 a ⇒ a = b,
а свойство (29) — в виде
                           ∀a, b ∈ A : a 6 b ∨ b 6 a.
   Пример 18. Отношение «меньше или равно» является отношением линей-
ного порядка на множестве натуральных (а также целых, рациональных и
действительных) чисел.
   Пример 19. Свойство множества быть подмножеством другого определя-
ет отношение порядка на множестве 2A, где A — какое-то множество. Этот
порядок не является линейным.
   Пример 20 (лексикографический порядок). Пусть A — какой-то алфавит
(например, кириллический или латинский), то есть конечное и линейно упо-
рядоченное множество букв. Тогда множество слов, записанных в этом алфа-
вите тоже линейно упорядочено (как это сделано в словарях). Этот порядок
слов называется лексикографическим.

Кардинальные числа. В примере 17 было введено понятие кардинального
числа как класса эквивалентности равномощных множеств. Поскольку, по
определению, все множества с данным кардинальным числом имеют одну и ту
же мощность, понятие кардинального числа и понятие мощности — это одно
и то же. Кардинальное число множества A (или его мощность) обозначается
через |A| (иногда через #(A)).
   Пример 21. Пусть T — множество, состоящее из двух элементов. Тогда
множество подмножеств любого множества A равномощно множеству T A , со-
стоящему из всевозможных отображений из A в T .
     Мощности множеств можно сравнивать.

Страницы