Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2. Отображения и отношения 19
Пример 12. Свойство двух карт колоды быть одной масти является отно-
шением эквивалентности.
Пример 13. Свойство двух точек плоскости, не совпадающих с началом
координат O, лежать на одном луче, проходящем через O, — отношение эк-
вивалентности.
Пример 14. Скажем, что два множества равномощны (или имеют одина-
ковую мощность), если между ними существует взаимно-однозначное с оо т -
ветствие. Рав номощность — отношение эквивалентност и.
Пусть ∼ — отношение эквивалентности на множестве A. Подмножество
[a] = {b ∈ A | b ∼ a } ⊂ A
называется классом эквивалентности элемента a (построенным по от ноше-
нию ∼).
Предложение 6. Любые два класса эквивалентност и либо не пересека-
ются, либо совпадают.
Определение 4. Множество классов э квивале нтнос т и, построенных по
некоторому отношению ∼, называется фактормножеством и обозначается
через A/ ∼. Сопоставление каждому элементу a ∈ A его класса эквивалент-
ности называется факторотображением, или отображением факторизации:
π : A → A/ ∼, π(a) = [a].
Пример 15. В примере 12 фактормножеством является множество мастей,
а отображение факторизации сопоставляет каждой карте её масть.
Пример 16. В примере 13 каждому класс у эквивалентности можно сопо-
ставить угол между соответствующим лучом и положительным направлением
оси OX, а фактормножество отождествить, например, с е диничной окружно-
стью с центром в начале координат.
Пример 17. В примере 14 множества объединяются в классы эквивалент-
ности, содержащие равномощные множества. Такой класс эквивалентности
называется кардинальным числом, хотя и не является числом в обычном по-
нимании (см. ниже).
Отношения порядка. Пусть A — множество.
Определение 5. Отношение R ⊂ A×A называется отношением порядка,
если оно обладает следующими свойствами:
рефлексивность: aRa, (26)
транзитивность: aRb & bRc ⇒ aRc, (27)
§2. Отображения и отношения                                         19

  Пример 12. Свойство двух карт колоды быть одной масти является отно-
шением эквивалентности.
   Пример 13. Свойство двух точек плоскости, не совпадающих с началом
координат O, лежать на одном луче, проходящем через O, — отношение эк-
вивалентности.
   Пример 14. Скажем, что два множества равномощны (или имеют одина-
ковую мощность), если между ними существует взаимно-однозначное соот-
ветствие. Равномощность — отношение эквивалентности.
  Пусть ∼ — отношение эквивалентности на множестве A. Подмножество
                       [a] = { b ∈ A | b ∼ a } ⊂ A
называется классом эквивалентности элемента a (построенным по отноше-
нию ∼).
  Предложение 6. Любые два класса эквивалентности либо не пересека-
ются, либо совпадают.
   Определение 4. Множество классов эквивалентности, построенных по
некоторому отношению ∼, называется фактормножеством и обозначается
через A/ ∼. Сопоставление каждому элементу a ∈ A его класса эквивалент-
ности называется факторотображением, или отображением факторизации:
                      π : A → A/ ∼,     π(a) = [a].
   Пример 15. В примере 12 фактормножеством является множество мастей,
а отображение факторизации сопоставляет каждой карте её масть.
   Пример 16. В примере 13 каждому классу эквивалентности можно сопо-
ставить угол между соответствующим лучом и положительным направлением
оси OX, а фактормножество отождествить, например, с единичной окружно-
стью с центром в начале координат.
   Пример 17. В примере 14 множества объединяются в классы эквивалент-
ности, содержащие равномощные множества. Такой класс эквивалентности
называется кардинальным числом, хотя и не является числом в обычном по-
нимании (см. ниже).

Отношения порядка. Пусть A — множество.
   Определение 5. Отношение R ⊂ A×A называется отношением порядка,
если оно обладает следующими свойствами:
          рефлексивность:                  aRa,                    (26)
          транзитивность:                  aRb & bRc ⇒ aRc,        (27)

Страницы